WWW.LIT.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - различные публикации
 

«группам Ли и алгебраическим группам. Экспоненциальное отображение Пусть G – связная группа Ли, и g = Lie G. Для x g обозначим через x соответствующее правоинвариантное векторное ...»

Лекции по группам и алгебрам Ли – 11,12

Материал этих лекций содержится в главе 1 книги Винберга и Онищика "Семинар по

группам Ли и алгебраическим группам" .

Экспоненциальное отображение

Пусть G – связная группа Ли, и g = Lie G. Для x g обозначим через x соответствующее правоинвариантное векторное поле. Рассмотрим следующую задачу Коши относительно

функции x : R G:

x = x, (0) = e .

Предложение 1. Функция x (t) определена на всей прямой и удовлетворяет соотношениям x (t + s) = x (t)x (s) и sx (t) = x (st) .

Доказательство. Функция x (t) определена в окрестности нуля по теореме существования решения обыкновенного дифференциального уравнения. Заметим, что при фиксированном s функции x (t + s) и x (t)x (s) удовлетворяют дифференциальному уравнению (t) = x (по переменной t) с одинаковым начальным условием (0) = x (s). Следовательно, по теореме единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения, на области определения функция x (t) удовлетворяет соотношениям x (t + s) = x (t)x (s), а значит, определена на всей прямой. Далее, при фиксированном s функции sx (t) и x (st) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению (t) = sx с одинаковым начальным условием (0) = e. Значит, sx (t) = x (st) .

Определение 1. Экспоненциальное отображение exp : g G определяется так: exp(x) :=

x (1) .

Примеры .

(1) Для аддитивной группы G = R, g = R имеем x (t) = tx и exp(x) = x .

(2) Для мультипликативной группы G = R+, g = R имеем x (t) = etx и exp(x) = ex .

(3) Для G = GLn (R), g = gln (R) имеем x (t) = etx и exp(x) = ex .

Предложение 2. Отображение exp : g G гладко, причем d0 exp = id : g = T0 g Te G = g .

Доказательство. Отображение exp : g G гладко, так как решение дифференциального d d уравнения гладко зависят от параметра. Имеем d0 exp(x) = ds |s=0 sx (1) = ds |s=0 x (s) = x .

Предложение 3. Отображение exp : g G функториально, т.е. для любого гомоморфизма групп Ли : G1 G2 следующая диаграмма коммутативна:

G1 G2 exp exp de g1 g2 .

Доказательство. В самом деле, всякое правоинвариантное векторное поле при гомоморфизме групп Ли переходит снова в правоинвариантное векторное поле, а значит, и однопараметрическая подгруппа x (t) переходит в de (x) (t) .

Из функториальности экпоненциального отображения, в частности, следует, что (1) det eA = etr A .

(2) Если матрица A кососимметрична, то eA ортогональна .

Теоремы единственности Теорема 1. Всякий гомоморфизм алгебр Ли g1 g2 продолжается до гомоморфизма соответствующих связных групп Ли G1 G2 не более, чем одним способом. В частности, всякое представление алгебры Ли интегрируется до представления соответствующей связной группы Ли не более, чем одним способом .

Доказательство. Из функториальности экспоненциального отображения следует, что гомоморфизм алгебр Ли однозначно задает гомоморфизм групп Ли на некоторой окрестности единицы. Значит, гомоморфизм групп Ли однозначно задан на некоторой открытой подгруппе Ли в G1 (порожденной этой окрестностью). Так как G1 связна, то всякая открытая подгруппа в G1 есть G1 .

Теорема 2. Всякой подалгебре Ли h g соответствует не более одной связной подгруппы Ли H G, такой, что Te H = h .

Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, предположим, что есть 2 различные связные подгруппы с данной касательной алгеброй. Тогда их пересечение есть открытая подгруппа в каждой из них. Значит, подгруппы совпадают .





Пример. (Обмотка тора) Пусть G = S 1 S 1. Выберем в g = R2 базис x1, x2 так, что exp(ax1 + bx2 ) = e2ia e2ib. Пусть h = R(x1 + x2 ), где R иррационально. Тогда exp(h) всюду плотно в G, и, следовательно, подалгебре Ли h g не соответствует никакой подгруппы Ли в G .

–  –  –

Коммутант. Замыкание Мальцева Предложение 4. Коммутант G связной односвязной группы Ли G является в ней (нормальной) подгруппой Ли, причем Lie G = [g, g] .

Доказательство. Подпространство [g, g] g является идеалом, причем фактор v = g/[g, g]

– абелева алгебра Ли. Пусть V – аддитивная группа векторного пространства v (т.е .

Lie V = v). Проекция p : g v есть гомоморфизм алгебр Ли. Следовательно, по теореме о существовании гомоморфизма групп Ли, имеется гомоморфизм групп Ли P : G V, такой, что de P = p. Заметим, что Ker P является подгруппой Ли в G, причем Lie Ker P = [g, g и G Ker P, так как группа Ли V абелева. С другой стороны, некоторая окрестность единицы в Ker P содержится в G, так как [g, g есть подпространство в Te G, касательное ко всем коммутаторам однопараметрических подгрупп. Следовательно, G есть объединение связных компонент в Ker P. Значит, и G – подгруппа Ли в G .

Определение 3. Замыканием Мальцева подалгебры Ли h в алгебре Ли g = Lie G называется минимальная подалгебра Ли hM g, являющаяся касательной алгеброй подгруппы Ли в G и содержащая h (т.е. пересечение всех алгебр Ли подгрупп Ли в G, содержащих h) .

Предложение 5. Имеем [hM, hM ] = [h, h] .

Доказательство. Многообразие H1 := {g G | (Ad(g) E)h [h, h]} есть подгруппа Ли в G с алгеброй Ли h1 := {x g | ad(x)h [h, h]}. Так как h h1, то hM h1 .

Многообразие H2 := {g G | (Ad(g) E)hM [h, h]} есть подгруппа Ли в G с алгеброй Ли h2 := {x g | ad(x)hM [h, h]}. Так как hM h1, то hM h2 .

Доказательство теоремы 4. Достаточно доказать теорему для односвязной группы Ли G (поскольку можно перейти к универсальной накрывающей группе). Подалгебры Ли hM и [hM, hM ] = [h, h] интегрируются до подгрупп Ли H M и H M в G. Рассмотрим группу Ли H M /H M. Это абелева группа Ли с алгеброй Ли hM /[hM, hM ]. Множество exp(h/[hM, hM ]) является в этой группе виртуальной подгруппой Ли с алгеброй Ли h/[hM, hM ]. Полный прообраз H этой виртуальной подгруппы в H M, очевидно, является снова виртуальной подгруппой в H M, а значит, и в G .






Похожие работы:

«Универсальный цифровой таймер Nice Calculation TFS-CP 3.0 Руководство пользователя (инструкция для соляриев) Содержание Введение 3 Комплектация 3 Условия эксплуатации 4 Монтаж устройства 4 Проверка 5 Общая информация по управлению 5 Основные функции 6 www.mastersol.ru Введение Устройство Nice Calculation TFS-CP 3.0 в данной модифи...»

«:ской области 1еских лиц УТВЕРЖДАЮ Министр труда и социальной защиты кой области рующем органе П.В. Коновалов УСТАВ ГОСУДАРСТВЕННОГО Б Ю Д Ж Е Т Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я К А Л У Ж С К О Й ОБЛАСТИ " С О Ц И А Л Ь Н О Р Е А Б И Л И Т А Ц И О Н Н Ы Й Ц Е Н Т Р ДЛЯ...»

«1 Содержание 1. Целевой раздел..3 1.1. Пояснительная записка (цели и задачи ООП ).. 3 1.2. Планируемые результаты освоения учащимися основной образовательной программы основного общего образования..8 1.3. Требования к уро...»

«ОСПАРИВАНИЕ НОРМАТИВНЫХ ПРАВОВЫХ АКТОВ, ДЕЙСТВИЙ И (БЕЗДЕЙСТВИЙ) ОРГАНОВ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ, ОРГАНОВ МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ, ДОЛЖНОСТНЫХ ЛИЦ, ГОСУДАРСТВЕННЫХ И МУНИЦИПАЛЬНЫХ СЛУЖАЩИХ (Гражданско-процессуальный кодекс РФ) Статья 251. Подача заявления об оспаривании нормативных правовых...»

«Публичная оферта о продаже товаров дистанционным способом (действует с 1 января 2017 года) 1. Термины и определения 1.1. в настоящей оферте, если из контекста не следует иное, нижеприведенные термины с заглавной буквы имеют следующие значени я. 1.1.1. "Курьерская служба" лица, оказывающие ус...»

«ПРАВИЛА АКЦИИ "Бесплатная доставка в интернет-магазине www.dolce-gusto.ru" Организатор и Оператор Акции 1.1.1. Организатором Акции является ООО "Нестле Россия", далее "Организатор".1.2. Юридический и почтовый адреса Организатора: ООО "Нестле Россия": 115054, г. Москва, Площадь Павелец...»

«УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ "МОГИЛЕВСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВА ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ" Кафедра административной деятельности факультета милиции УТВЕРЖДАЮ Заместитель начальника кафедры администрдти...»

«16 августа 2014 г. MS Word. Оформление документов. Профессиональное форматирование. Практическая работа № 1 . Профессиональная работа с текстом в MS Word Те ма : 2010. Вставка даты и времени, специальных символов, ударения, буквицы...»







 
2018 www.lit.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.