WWW.LIT.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - различные публикации
 

«накрывающих отображений А. В. АРУТЮНОВ Российский университет дружбы народов С. Е. ЖУКОВСКИЙ Российский университет дружбы народов e-mail: S-E-Zhuk УДК 517 Ключевые ...»

О непрерывности обратных отображений

для липшицевых возмущений

накрывающих отображений

А. В. АРУТЮНОВ

Российский университет дружбы народов

С. Е. ЖУКОВСКИЙ

Российский университет дружбы народов

e-mail: S-E-Zhuk@yandex.ru

УДК 517

Ключевые слова: накрывающее отображение, сильно накрывающее отображение,

теорема о возмущении .

Аннотация

В работе исследуется вопрос о существовании непрерывного правого обратного

отображения к накрывающему отображению. Для описания накрывающих отображений, у которых существуют непрерывные обратные отображения, введено понятие сильной накрываемости. Показано, что свойство сильной накрываемости устойчиво при малых липшицевых возмущениях .

Abstract A. V. Arutyunov, S. E. Zhukovskiy, On the continuity of inverse mappings for Lipschitz perturbations of covering mappings, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 19 (2014), no. 4, pp. 93—99 .

In this paper, we study the question of the existence of a continuous right inverse mapping for a covering mapping. To describe covering mappings that have a continuous right inverse, a concept of strong covering is introduced. It is shown that the property of strong covering is stable under small Lipschitz perturbations .

Введение Пусть X, Y — метрические пространства с метриками X и Y соответственно. Пусть заданы отображение : X Y и число 0. Для произвольных x X, r 0 обозначим через BX (x, r) замкнутый шар в пространстве X с центром в точке x и радиусом r .

Напомним, что отображение называется -накрывающим, если BY ((x), r) (BX (x, r)) для любых x X, r 0 .

Фундаментальная и прикладная математика, 2014, том 19, № 4, с. 93—99 .

c 2014 Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ»

94 А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский Классический пример накрывающего отображения даёт теорема Банаха об открытом отображении, которая утверждает, что если X и Y — банаховы пространства, а отображение является линейным, непрерывным и сюръективным, то существует число 0, такое что отображение является -накрывающим .

Накрывающие отображения и их свойства подробно изучались во второй половине XX века. Одной из первых работ в этой области была статья [14] Л. М. Грейвса, в которой с использованием накрывающих свойств линейных операторов были получены условия локальной накрываемости гладкого отображения банаховых пространств. Впоследствии А. А. Милютиным была получена теорема, представляющая собой достаточные условия накрываемости отображения. Сформулируем её .

Теорема 1 [9]. Пусть X — полное метрическое пространство, Y — линейное метрическое пространство с метрикой Y, инвариантной относительно сдвига, отображение : X Y является непрерывным и -накрывающим, а отображение : X Y липшицево с константой Липшица. Тогда отображение + является ( )-накрывающим .

Этот результат в современной литературе принято называть теоремой А. А. Милютина о липшицевых возмущениях накрывающих отображений. Позже свойство накрывания и его устойчивость при липшицевых возмущениях исследовались в [13, 15—17] .

Ещё одной задачей, к исследованию которой применима теория накрывающих отображений, является задача о точках совпадения. Напомним, что точкой совпадения двух отображений, : X Y называется решение x X уравнения (x) = (x) .

Достаточные условия существования точек совпадения в терминах накрывающих отображений были сформулированы в [2]. Приведём этот результат .

Теорема 2 [2]. Пусть X — полное метрическое пространство, отображение : X Y является непрерывным и -накрывающим, а отображение : X Y липшицево с константой Липшица. Тогда для произвольного x0 X существует точка X, такая что () = () и X (, x0 ) Y (x0 ), (x0 ) .





В [2] также были получены условия существования точек совпадения многозначных отображений. Локальной вариант этих результатов был доказан в [11] .

В [3, 4] была исследована устойчивость точек совпадения .

Приведённые здесь и некоторые другие результаты теории накрывающих отображений имеют приложения в исследовании управляемых систем (см. [7]), неявных дифференциальных уравнений (см. [5, 6]), уравнений Вольтерра (см. [12]) .

О непрерывности обратных отображений для липшицевых возмущений

1. Непрерывность обратного отображения Вернёмся к определению -накрывающего отображения. Очевидно, отображение является -накрывающим тогда и только тогда, когда существует отображение : X Y X, такое что

–  –  –

Из приведённых свойств, очевидно, следует, что для каждого фиксированного x X отображение (x ; ·) является правым обратным к отображению, т. е .

(x ; y) = y для любых y Y .

Кроме того, в силу свойства II), если отображение является накрывающим, то при каждом фиксированном x X отображение (x ; ·) непрерывно в точке y = (x ). Возникает естественный вопрос: является ли отображение (x ; ·) непрерывным на всём пространстве Y ?

Отрицательный ответ на это вопрос был дан в [8]. В этой работе приведён пример такого 1-накрывающего непрерывного отображения : R2 R2, что любая функция, удовлетворяющая условиям I), II) имеет разрыв в любой окрестности нуля .

В связи со сказанным представляется естественным следующее усиление свойства накрывания .

Определение 1. Отображение : X Y будем называть сильно -накрывающим, если существует непрерывное отображение : X Y X, удовлетворяющее свойствам I) и II) .

Таким образом, из сильной -накрываемости отображения вытекает непрерывность правого обратного отображения (x, ·) при всех x X .

Следующее утверждение даёт пример сильно накрывающих отображений .

Пусть X, Y — банаховы пространства, A : X Y — линейный оператор .

Предложение 1. Пусть оператор A непрерывен и AX = Y. Тогда существует число 0, такое что оператор A является сильно -накрывающим .

Мы не будем приводить доказательства предложения 1, поскольку оно является прямым следствием теоремы 2 из [1]. Отметим только, что доказательство предложения 1 основано на теореме Банаха об открытом отображении и теореме Майкла о непрерывных селекторах многозначных отображений и может быть проведено по схеме, впервые предложенной В. М. Тихомировым в [10] .

Как было показано А. А. Милютиным (см. теорему 1), свойство накрывания отображения устойчиво при малых липшицевых возмущениях. Далее мы покажем, что это утверждение верно и для сильно накрывающих отображений .

96 А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский

–  –  –

из равенства (4) следует, что последовательность xn (x, y) сходится к y (x, y). Из замкнутости отображения вытекает, что xn (x, y) сходится к (x, y), и значит, (x, y) = y (x, y). Следовательно, (2) выполняется. Переходя в (6) при n = 0 к пределу при k, получаем неравенство (3) .

Работа выполнена в рамках реализации государственного задания Министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности, проект № 1.333.2014/K .

Литература [1] Арутюнов А. В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. — Т. 46, № 2. — С. 205—215 .

[2] Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН. — 2007. — Т. 416, № 2. — С. 151—155 .

[3] Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Матем. заметки. — 2009. — Т. 86, № 2. — С. 163—169 .

[4] Арутюнов А. В. Задача о точках совпадения многозначных отображений и устойчивость по Уламу—Хайерсу // Докл. РАН. — 2014. — Т. 455, № 4. — С. 379—383 .

[5] Арутюнов А. В., Аваков Е. Р., Жуковский Е. С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешённым относительно производной // Дифференц. уравн. — 2009. — Т. 45, № 5. — С. 613—634 .

[6] Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С. Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной // Дифференц .

уравн. — 2011. — Т. 47, № 11. — С. 1523—1537 .

[7] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференц. уравн. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 1561—1570 .

[8] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Существование обратных отображений и их свойства // Тр. Мат. Ин-та им. В. А. Стеклова. — 2010. — Т. 271. — С. 12—22 .

[9] Дмитрук А. В., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. — 1980. — Т. 35, № 6 (216). — С. 11—46 .

[10] Тихомиров В. М. Теорема Люстерника о касательном пространстве и некоторые её модификации // Оптимальное управление. Матем. вопр. управления производством. — 1977. — Вып. 7. — С. 22—30 .

[11] Arutyunov A., Avakov E., Gel’man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Appl. — 2009. — Vol. 5, no. 1. — P. 105—127 .

[12] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E. S., Zhukovskiy S. E. Covering mappings and well—posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. — 2012. — Vol. 75, no. 3. — P. 1026—1044 .

[13] Dontchev A. L., Rockafellar R. T. Implicit Functions and Solution Mappings. — Berlin:

Springer, 2009. — (Monographs Math.) .

О непрерывности обратных отображений для липшицевых возмущений [14] Graves L. M. Some mapping theorems // Duke Math. J. — 1950. — Vol. 17. — P. 111—114 .

[15] Mordukhovich B. Sh. Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions // Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — Vol. 340. — P. 1—35 .

[16] Mordukhovich B. S. Variational Analysis and Generalized Dierentiation. I: Basic Theory. — Berlin: Springer, 2006 .

[17] Uderzo A. A metric version of Milyutin theorem // Set-Valued Var. Anal. — 2012. — Vol. 20, no. 2. — P. 279—306 .






Похожие работы:

«СОДЕРЖАНИЕ 1.Общие положения 1.1.Нормативно-правовые основы разработки ППКРС 1.2.Срок получения СПО по ППКРС 1.3.Участие работодателей в разработке и реализации ППКРС 2.Характеристика профессиональной деятельности выпускников и требования к результатам освоения ППКРС 2.1.Область и объекты п...»

«ВНУТРЕННИЙ ПРЕДИКТОР СССР Печальное наследие Атлантиды _ Троцкизм — это "вчера", но никак не "завтра" Санкт-Петербург 1999 г. © Публикуемые материалы являются достоянием Русской культуры, по какой причине никто не обладает в отношении них персональными авторскими правами. В случае присвоения...»

«22.12.2016 0516_Rus_Q2017_Yekun imtahan testinin suallar Fnn : 0516 Beynlxalq mnasibtlrin regional aspektlri 2 1 На сkольkо лет избирается президент в Турции на современном этапе? • 5 2 Выберите правильный вариант переxода оkруга все округа...»

«Князев Анатолий Николаевич Магистрант НАЧОУ ВПО СГА Направление: Юриспруденция Магистерская программа: Уголовный процесс, криминалистика и судебная экспертиза, теория оперативно-розыскной деятельности. Особенности производства предъявления для опо...»

«Юрий Загвоздин Виноград растет и у нас Серия "Удачные советы" Текст предоставлен правообладателем http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=7679785 Загвоздин, Юрий Виноград растет и у нас: АСТ, Кладезь; Москва; 2014 ISBN 978-5-17-084277-3 Аннотация Автор брошюры уже девять...»

«, № 4(6) 2008 Культурно-просветительсКий и литературно-художественный журнал издается ежеквартально при участии:Читайте в ноМере: санкт-петербургского отделения союза писателей россии; радован КараджиЧ собора православной родина требует воли и жизни интеллигенции санкт-петербурга; Зао "утро" валентин распутин...»

«ИНФОРМАЦИОННО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР ДОКУМЕНТАЦИИ КОРЕННЫХ НАРОДОВ ДОСИП АПДЕЙТ 63-64 МАРТ / ИЮНЬ 2005 г. *** СОДЕРЖАНИЕ 1. От редакции 2. Рабочая группа по коренному населению 22-я сессия, Женева, 19-23 июля 2004 г. Пункт 4 Обзор событий, относящихся к поощрению и защите прав челове...»

«ВИПУСК 33 Умланд Андреас НОВЫЕ ИДЕОЛОГИЧЕСКИЕ ОБРАЗОВАНИЯ В СОВРЕМЕННОМ РУССКОМ АНТИДЕМОКРАТИЗМЕ: ЗАПАДНЫЕ КОНЦЕПЦИИ, АНТИЗАПАДНЫЕ ПОЛИТИЧЕСКИЕ ДОКТРИНЫ И ПОСТСОВЕТСКИЙ ПАРТИЙНЫЙ СПЕКТР * 1. Введение В этой статье коротко описаны и проанализированы неко торые аспекты идеоло...»







 
2018 www.lit.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.