WWW.LIT.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - различные публикации
 

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.Г. БЕЛИНСКОГО Факультет педагогики, ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.Г. БЕЛИНСКОГО

Факультет педагогики, психологии Кафедра «Теория и методика

и социальных наук дошкольного и начального образования»

Направление подготовки 44.01.01 «Педагогическое образование»

Профиль подготовки «Начальное образование»

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему:

«Использование моделирования при изучении табличных случаев сложения»

Студент Уланова Галина Владимировна __________ подпись, дата) (ФИО полностью) Руководитель Кулагина Т.В .

__________ (подпись, дата) (фамилия, инициалы) Нормоконтролер Осипова Н.Н .

___________ подпись, дата) Работа допущена к защите (протокол заседания кафедры от ______ № ___) Заведующий кафедрой Мали Л.Д .

__________ (подпись, дата) Работа защищена с отметкой _____ (протокол заседания ГЭК от ____№ _) Секретарь ГЭК _________ Кулагина Т.В .

(подпись, дата) Пенза 2017

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………... 3 Глава 1. Теоретические основы использования моделирования при изучении табличных случаев сложения

1.1. Психолого-педагогические основы формирования умственных действий у младших школьников ………………………………... 7

1.2. Понятие модели и моделирования………………………………... 13 1.2.1. Понятие о модели. Виды моделей………………………….. 13 1.2.2. Понятие о моделировании. Учебное моделирование……... 18

1.3. Специфика обучения младших школьников использованию моделирования на уроках математики……………………………. 27 Глава 2. Методические основы изучения табличных случаев сложения на основе моделирования в начальном курсе математики

2.1. Изучение арифметических действий в начальном курсе математики. Математический смысл действия сложения………. 34

2.2. Методические особенности работы над табличным сложением…………………………………………………………... 42 2.2.1. Методика работы над сложением в пределах 10………….. 42 2.2.2. Методика работы над сложением в пределах 20………….. 48

2.3. Анализ учебников математики для начальной школы по проблеме использования моделирования при изучении табличных случаев сложения……………………………………… 53

2.4. Изучение табличных случаев сложения на основе приема моделирования……………………………………………………… 62 Заключение…………………………………………………………………... 66 Список литературы………………………………………………………….. 68 Приложения………………………………………………….………………. 72

Введение

Современная система обучения в начальной школе направлена на реализацию Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО), в связи с чем обусловлена необходимость поиска и внедрения новых подходов в организации учебновоспитательного процесса, а также поиска и разработки новых технологий и моделей развития школьников. Одной из основных задач образования стало выявление и развитие способностей каждого обучающегося и воспитание его личности, готовой к жизни в современном мире .

Успешная реализации и достижение этой задачи предполагает направленность процесса обучения не просто на передачу объема знаний, а на формирование у младших школьников умения учиться. О чем и сказано в стандартах второго поколения, где сделан акцент на формирование совокупности универсальных учебных действий (УУД), направленных на формирование у детей умения учиться, а также способности личности к саморазвитию и самосовершенствованию. Достижение чего осуществляется через формирование у школьников общеучебных умений. Современная концепция развития УУД разработанна на основе системно-деятельностного подхода (Л.С. Выготский, А.Н .





Леонтьев, П.Я. Гальперин, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.Г. Асмолов) .

Начальная ступень образования является фундаментом для дальнейшего образования. Поэтому от успешности прохождения данного периода во многом зависит результативность обучения на последующих ступенях образования .

Каждый из школьных учебных предметов способствует формированию учебных действий, определяемых, в первую очередь, его функцией и предметным содержанием. На наш взгляд предмет математика относится к одной из дисциплин наиболее благоприятных для формирования различных видов УУД и создающих для них зону ближайшего развития. Большие возможности в этом плане открывается при изучении табличных случаев сложения и формировании вычислительных навыков младших школьников .

Одним из наиболее важных понятий в начальном курсе математики является понятие арифметической операции. При изучении операций над числами одними из базовых знаний и умений является усвоение табличных случаев сложения и вычитания. Для обеспечения прочного овладения которыми необходимо вовремя создать у детей установку на запоминание и практически на каждом уроке выполнять тренировочные упражнения. Предлагаемые детям задания должны быть разнообразными и включать в работу всех учащихся класса .

Следует использовать такие приемы и формы работы, которые будут способствовать поддержанию интереса детей, а также различные средства обратной связи. В соответствии с требованиями ФГОС НОО, при изучении математики в начальных классах у детей необходимо сформировать прочные осознанные вычислительные навыки, в некоторых случаях они должны быть доведены до автоматизма .

Значение вычислительных навыков состоит в том, что без них учащиеся не в состоянии овладеть содержанием всех последующих разделов школьного курса математики. Без них они не в состоянии овладеть содержанием других учебных дисциплин, в которых систематически используются различные вычисления .

В условиях образования, ориентированного на развитие мышления у младших школьников, особое значение в обучении и, в том числе, при изучении табличных случаев сложения, приобретает овладение действием моделирования .

Поскольку, согласно исследованиям В.В. Давыдова, оно способствует формированию обобщенных знаний. Это и определяет основные пути организации деятельности учащихся, направленных на развитие мышления в процессе изучения табличных случаев сложения на основе моделирования, а также формирование необходимых для этого умений и способов действий .

Проблема моделирования исследуется в разных науках: философии, психологии, педагогике. В психолого-педагогических исследованиях решение этой проблемы определяется психологической теорией учения (П.Я. Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Пойа, Н.Ф.Талызина, Л.М.Фридман) .

Проблема формирования табличных навыков сложения является актуальной, так как недостаточная сформированность данных знаний затрудняет дальнейшее обучение вычислительным приемам вычитания и других арифметических действий. Поэтому выбранная нами тема исследования является актуальной. В данной работе мы постараемся отразить методические особенности изучения табличных случаев сложения .

Вышесказанное определило актуальность. В данной работе мы акцентировали свое внимание на особенностях использования учебного действия моделирования при изучении табличных случаев сложения .

Объект исследования – процесс обучения младших школьников табличным случаям сложения на уроках математики .

Предмет исследования – методика использования приема моделирования как средства обучения младших школьников табличным случаям сложения .

Цель исследования – рассмотреть и выявить методические особенности использования приема моделирования при изучении табличных случаев сложения на уроках математики в начальной школе .

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить психолого-педагогические особенности формирования умственных действий у младших школьников .

2. Раскрыть сущность модели, моделирования; рассмотреть специфику использования приема моделирования в начальной школе .

3. Рассмотреть теоретические основы изучения табличных случаев сложения на уроках математики в начальных классах; выявить особенности методики изучения табличных случаев сложения в начальных классах .

4. Изучить педагогический опыт с целью выявления методических приемов использования приема моделирования при изучении табличных случаев сложения на уроках математики в начальных классах .

5. Подобрать и разработать задания с использованием моделирования, направленные на формирование табличных навыков сложения у младших школьников, разработать технологическую карту урока с использованием заданий, нацеливающих детей применять прием моделирования при выполнении табличных случаев сложения .

Методологической основой исследования являются положения отечественных ученых, сформулированные в трудах В.В. Давыдова, Н.Б .

Истоминой, М.А. Бантовой, М.И. Моро и др .

При решении данных задач были использованы следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической и методической литературы;

изучение учебно-методических пособий, материалов и публикаций по исследуемой теме; метод систематизации теоретического и практического опыта использования приема моделирования, конструирование собственных методических приемов использования моделирования в процессе изучения табличных случаев сложения .

Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы .

Глава 1. Теоретические основы использования моделирования при изучении табличных случаев сложения

–  –  –

Особенность детей младшего школьного возраста – познавательная активность. К моменту поступления в школу младшему школьнику, кроме познавательной активности, уже доступно понимание общих связей, принципов и закономерностей, лежащих в основе научного знания. Поэтому одной из основополагающих задач, которые призвана решать начальная школа для образования учащихся, является формирование как можно более полной картины мира, что достигается, в частности, посредством логического мышления, инструментом которого являются мыслительные операции .

По мнению ряда психологов, именно младший школьный возраст является периодом активного развития мышления. Это развитие заключается прежде всего в том, что возникает независимая от внешней деятельности внутренняя интеллектуальная деятельность, система собственно умственных действий [10] .

Согласно теории планомерного, поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина [12] предметом формирования должны стать действия, понимаемые как способы решения определенного класса задач. Для этого необходимо выделить и построить такую систему условий, учет которых не только обеспечивает, но даже и «вынуждает» ученика действовать правильно и только правильно, в требуемой форме и с заданными показателями .

Эта система включает три подсистемы:

1) условия, обеспечивающие построение и правильное выполнение учеником нового способа действия;

2) условия, обеспечивающие «отработку», т. е. воспитание желаемых свойств способа действия;

3) условия, позволяющие уверенно и полноценно переносить выполнение действий из внешней предметной формы в умственный план .

Основное назначение первой подсистемы условий заключается в том, чтобы раскрыть перед учеником объективную структуру материала и действия;

выделить в материале ориентиры, а в действии последовательность его отдельных звеньев — систему объективных условий, позволяющих ученику с первого раза и каждый следующий раз правильно выполнять все задания. Эта система условий, обеспечивающих правильное выполнение нового действия, в теории получила название схемы ориентировочной основы действия. Она включает в себя:

характеристику и функции продукта (результата), содержание и операциональный состав действия; характеристику материала, орудий и средств действия, в том числе и средств контроля .

Вторая подсистема – это описание условий, обеспечивающих приобретение действием желаемых свойств, форму выполнения действия (материальная/ материализованная, речевая, умственная), полноту или сокращенность действия;

меру дифференцировки, меру отделения существенных свойств от несущественных, временные и силовые характеристики, а также разумность, сознательность, обобщенность, критичность и освоенность действия .

Третья подсистема условий обеспечивает перенос действия в идеальный (умственный) план в ходе поэтапных преобразований, происходящих с действием в процессе его становления .

В основе теории поэтапного формирования умственных действий лежит психологическое учение Л.С. Выготского об интериоризации. Это процесс преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю, психическую деятельность, формирование внутренних интеллектуальных структур психики посредством усвоения внешней социальной действительности. Из этого следует, что обучение и воспитание можно рассматривать как процесс интериоризации .

Проблема в том, как оптимально управлять этим процессом. Теория П.Я .

Гальперина определяет один из путей решения этой задачи: указывает условия, обеспечивающие формирование умственных действий с заранее намеченными свойствами .

Исходными теоретическими постулатами послужили следующие положения, разработанные в отечественной психологии Л.С. Выготским, С.Л .

Рубинштейном, А.Н. Леонтьевым:

• всякая психическая функция выступает вначале как внешняя, интерпсихическая, а потом как внутренняя, ин-трапсихическая; т. е. всякое психическое есть превращенное, интериоризованное внешнее (Л.С. Выготский);

• психика (сознание) и деятельность представляют собой особый тип единства: психическое формируется в деятельности, а деятельность регулируется психическим (С.Л. Рубинштейн);

• внутренняя, психическая деятельность имеет ту же структуру, что и внешняя, предметная деятельность (А.Н. Леонтьев) [40] .

П.Я. Гальперин разграничил две части осваиваемого предметного действия:

его понимание и умение его выполнить. Первая часть играет роль ориентировки и названа «ориентировочной», вторая – исполнительная. П.Я. Гальперин придавал особое значение ориентировочной части, считая ее «управляющей инстанцией», позднее он назовет ее «штурманской картой» .

Условием формирования действий является ориентировочная основа действия (ООД) – это система ориентиров и указаний, сведений о всех компонентах действия (предмет, продукт, средства, состав и порядок выполнения операций). П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной проведена типология ООД по трем критериям: степень ее полноты (наличие в ней сведений обо всех компонентах действия: предмете, продукте, средствах, составе, порядке выполнения операций); мера обобщенности (широта класса объектов, к которым применимо данное действие); способ получения (каким образом субъект стал обладателем данной ООД). Соответственно, выделяются три типа ООД и три типа обучения [40] .

1-й тип обучения характеризуется неполным составом ОО, ориентиры представлены в частном виде и выделяются самим субъектом путем слепых проб .

Процесс формирования действия на такой ОО идет медленно, с большим количеством ошибок. Например, и учебник, и учитель по русскому языку дают образцы слов и предложений, демонстрируют какое-либо грамматическое явление, анализируют его и формулируют правило написания. Аналогично делается в геометрии, физике и пр .

2-й тип обучения характеризуется наличием всех условий, необходимых для правильного выполнения действия. Но эти условия даются субъекту 1) в готовом виде, 2) в частном виде, пригодном для ориентировки лишь в данном случае .

Формирование действия при такой ОО идет быстро и безошибочно. Однако сфера переноса действия ограничена сходством конкретных условий его выполнения .

Усвоение действия протекает без ошибок (исключение – ошибки по невнимательности), ясно осознаются действия и существенные (несущественные) признаки объекта изучения. Перенос действия на новые задачи ограничен конкретностью ООД .

3-й тип обучения – ОО имеет полный состав, ориентиры представлены в обобщенном виде, характерном для целого класса явлений. В каждом конкретном случае ООД составляется учеником самостоятельно с помощью общего метода, который ему дается. Действию, сформированному на ОО 3-го типа, присущи не только безошибочность и быстрота процесса формирования, но и большая устойчивость, широта переноса. Например, даются общие схемы и алгоритмы, находящие применение во многих случаях: анализ по составу и как части речи, анализ предложения по наличию основы и другим характеристикам. Учение протекает сравнительно быстро, без ошибок, с уяснением существенных (несущественных) признаков объекта и условий действия с ними, обеспечивается перенос знаний и действий на все конкретные случаи в данной области .

Поэтапное формирование умственных действий по этой классификации типов обучения соответствует третьему типу. Но успешность обучения такого типа обусловлена не только полной, обобщенной и самостоятельно создаваемой ориентировочной основой действия, но и отработкой действия на разных уровнях его формирования (в разных формах) .

Используя принцип интериоризации, П.Я. Гальперин поставил задачу «приоткрытия тайны возникновения психического процесса» [12]. Идеальные действия (действия, производимые в поле восприятия, речевом плане и уме) рассматриваются как производные от внешних, предметных, материальных действий. Поэтому для того, чтобы действие было сформировано в его высшей, умственной форме, необходимо проследить весь путь его становления – от материальной формы. П.Я. Гальперин разработал целостную схему этого преобразования. Определяя условия, обеспечивающие перенесение внешнего действия во внутренний план, он выделяет ряд этапов .

П.Я. Гальперин выделял шесть этапов формирования умственных действий: 1) формирование мотивационной основы действия; 2) составление схемы ориентировочной основы действия; 3) формирование действий в материализованной форме; 4) громкая внешняя речь, когда содержание ООД отражается в речи; 5) формирование действия во «внешней речи про себя»; 6) формирование действия во внутренней речи [40] .

1-й этап – мотивационный. Происходит предварительное ознакомление учащихся с целью обучения, создание «внутренней», или познавательной, мотивации. Для создания познавательной мотивации можно использовать проблемные ситуации (Н.Ф. Талызина) .

2-й этап – составление схемы ориентировочной основы действия (ООД, см .

выше). Ученик разбирается в содержании усваиваемого действия: в свойствах предмета, в результате-образце, в составе и порядке исполнительных операций .

3-й этап – формирование действия в материальной или материализованной форме. Действие выполняется как внешнее, практическое, с реальными предметами (материальная форма действия), например, перекладывание какихлибо предметов при счете. Действие выполняется с преобразованным материалом: моделями, схемами, диаграммами, чертежами и т. п. (материализованная форма), например счет на палочках. При этом все операции действия осознаются, а замедленное их выполнение позволяет увидеть и осознать содержание как операций, так и всего действия в целом. Обязательным условием этого этапа является сочетание материальной формы действия с речевой, что позволяет отделить усваиваемое действие от тех предметов или их заместителей, с помощью которых оно выполняется. Когда действие начинает протекать плавно, безошибочно и более быстро, убираются ориентировочная карточка и материальные опоры .

4-й этап – формирование действия в громкой речи. Ученик, лишенный материальных опор действия, анализирует материал в плане в громкой социализированной речи, обращенной к другому человеку. Это одновременно и речевое действие, и сообщение об этом действии. Речевое действие должно быть развернутым, сообщение – понятным другому человеку, контролирующему процесс обучения. На этом этапе происходит «скачок» – переход от внешнего действия к мысли об этом действии. Осваиваемое действие проходит дальнейшее обобщение, но остается несокращенным, неавтоматизированным .

5-й этап – формирование действия во внешней речи «про себя». Ученик использует ту же речевую форму действия, что и на предыдущем этапе, но без проговаривания (даже шепотом). Здесь возможен пооперационный контроль:

педагог может уточнять последовательность производимых операций или результат отдельной операции. Этап завершается, когда достигается быстрое и правильное выполнение каждой операции и всего действия .

6-й этап – формирование действия во внутренней речи. Ученик, решая задачу, сообщает только конечный ответ. Действие становится сокращенным и легко автоматизируется. Но это автоматизированное действие, выполняемое с максимально возможной для ученика скоростью, остается безошибочным (при появлении ошибок необходимо вернуться на один из предыдущих этапов). На последнем, шестом, этапе формируется умственное действие, появляется «феномен чистой мысли» [40] .

П.Я. Гальперин подчеркивал, что эмпирически формирование действия, понятия или образа может проходить с пропуском некоторых этапов данной шкалы; причем в ряде случаев такой пропуск является психологически вполне оправданным, так как учащийся в своем прошлом опыте уже овладел соответствующими формами и в состоянии успешно включить их в текущий процесс формирования (действия с предметами или их заместителями, речевые формы и т. д.). Вместе с тем П.Я. Гальперин обращал внимание на то, что суть не в поэтапности, а в полной системе условий, позволяющей однозначно определить и ход процесса, и его результат .

Значение теории П.Я. Гальперина состоит в том, что она указывает учителю, как надо строить обучение, чтобы эффективно формировать знания и действия с помощью главного дидактического средства – ориентировочной основы .

Анализ существующих подходов к оптимизации системы начального образования позволяет заключить, что при их значительном разнообразии признается необходимость реализации общего образования в единстве функций обучения и воспитания, познавательного и личностного развития учащихся на основе формирования общих учебных умений, обобщенных способов действия, обеспечивающих высокую эффективность решения жизненных задач и возможность саморазвития учащихся .

1.2. Понятие о модели и моделировании

В настоящее время моделирование как особый метод познания завоёвывает признания во многих областях науки. При этом в одних областях моделирование выступает как их новый метод, в других – как уже известный метод, приобретающий новые приложения. Соответственно, в современной методической системе обучения также наметилась практика более широкого использования моделирования в связи с переносом акцентов с увеличения объёма информации, предназначенной для запоминания учащимися, на формирование мыслительных умений .

Рассмотрим понятие модели и моделирования. На сегодня нет единства мнений по поводу употребления этих терминов .

1.2.1. Понятие о модели. Виды моделей С точки зрения философии модель (от лат. «modus», « modulus» – мера, образ, способ) – это такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что её изучение даёт нам новую информацию об этом объекте [42, с.19] .

В психологии модель рассматривается как продукт психической деятельности, моделирование же будет средством активизации мыслительной деятельности, средством получения новых знаний в процессе оперирования и преобразования модели, средством формирования научно-теоретического мышления, методом исследования и средством усвоения .

По определению В.В. Давыдова, модель — «это форма абстракции особого рода, в которой существенные отношения объекта закреплены в наглядно-воспринимаемых и представляемых связях и отношениях вещественных или знаковых элементов. Это своеобразное единство единичного и общего, при котором на первый план выдвинуто общее, существенное» [14, с.162] .

В.В.

Давыдов в книге «Учебная деятельность и моделирование» [13] выделяет следующие общие моменты во всех случаях употребления понятия модель:

– модель представляет собой средство научного познания;

– модель всегда выступает как такой представитель оригинала, заместитель прототипа, который в каком-либо отношении более удобен для изучения, и можно перенести полученные при этом знания на исходный объект;

– как модели, так и прототипы, являются системой, характеризующейся существенными структурными свойствами и определенными отношениями;

– модели охватывают только те свойства прототипа, которые существенны в данной ситуации и которые являются объектом исследования;

– модели однозначно соответствуют оригиналу Таким образом, модели употребляются в различных областях научного знания и практической деятельности. Наблюдается отождествление модели с идеальным образом .

Из всего сказанного можно сделать вывод, что модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объекторигинал, сохраняя существенные для данного исследования его черты, и в процессе изучения даёт новую информацию об оригинале .

Из понятия о модели следует две ее главные характеристики:

1) модель – заместитель объекта изучения;

2) модель и изучаемый объект находятся в определенных отношениях соответствия (и в этом смысле модель отображает объект) .

Из этих характеристик первая является основной, поскольку модель создается тогда, когда изучение оригинала невозможно или затруднено. Однако обе характеристики взаимно связаны, потому что замещение одного объекта другим может происходить лишь благодаря соответствию их в каком-либо отношении .

Модели придаётся огромная роль в научном познании. Г.Н.

Салмина [35] выделяет ряд функций, которые модель выполняет в качестве средства познания:

отражательная (модель является носителем информации, специ-фическим способом отражения); абстрагирующая (модель выступает средством экспериментального исследования: абстрагируя какие-то свойства, отношения, превращая их в идеализированные объекты, модель даёт возможность изучать эти отношения, связи, свойства в чистом виде).Существуют различные виды моделей .

Классификация моделей может быть проведена как по их форме (способ построения), так и по содержанию .

В зависимости от способа построения все модели делятся на 2 группы (по В.А. Штофу [42]): 1) материальные (реальные, вещественные, действующие); 2) идеальные (мысленные, воображаемые, умозрительные) .

К материальным относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, функциональные, физические, динамические характеристики оригинала .

Выделяются следующие виды материальных моделей: а) пространственноподобные; б) физически-подобные; в) математически-подобные .

К первому (а) виду относятся макеты, пространственные модели, муляжи .

Ко второму (б) – модели, обладающие механическим, динамическим и другими видами физического подобия с оригиналом. В этом случае реальному объекту противопоставлена его уменьшенная или увеличенная копия, допускающая искажения с последующим перенесением изучаемых свойств на оригинал (планетарий или модель плотины). К третьему (в) – аналоговые модели, основанные на аналогии процессов и явлений, которые имеют различную физическую природу, но одинаково описывающиеся формально: структурные модели; цифровые машины .

Идеальные модели подразделяются на: а) образные (иконические); б) знаковые (символические); в) смешанные (образно-знаковые) .

Модели первого вида (а) — это гипотетические, модели-аналоги, модели идеализации. Например, рисунки. Ко второму (б) относятся определенным образом интерпретированные знаковые системы. Например, формула алгебраического уравнения. Как отмечает В.А. Штоф, знаковые системы в структуре своих построений воспроизводят, копируют структуру объекта, отображают связи и отношения реальных объектов. К третьему (в) — схемы, чертежи, карты, графы, графики .

На схеме представлена классификация моделей по В.А. Штофу .

МОДЕЛИ

(по В.А. Штофу)

–  –  –

Существуют и другие классификации моделей (рис.1). Их можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения .

–  –  –

Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами .

Макеты — отражают особенности пространственных отношений, муляжи — внешние особенности объекта .

Графические модели обеспечивают графическое действие с предметами .

На реальном рисунке изображены реальные предметы, а на условном они изображаются знаками .

Чертеж — условное обозначение изображенных предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношений величин с помощью отрезков и с соблюдением определенного масштаба .

Схема — это модель, на которой связи и отношения передаются приблизительно, без соблюдения масштаба .

Знаковые модели могут выполняться как на естественном языке (выражены в словесной формулировке), так и на математическом языке (с использованием различных символов). В математике на естественном языке выполняются таблицы, краткая запись, формулируются алгоритмы и правила; на математическом языке – математические выражения, равенства, неравенства .

Задачи, которые удаётся выразить в виде математических моделей, считаются решёнными .

Математические модели могут иметь обобщённый вид. Такие модели называют графическими заменителями математических моделей. Они построены с помощью математических знаков отношений и действий, но числа изображены графическими символами. Эти модели используются на уроках математики при изучении нового материала, и при закреплении и повторении и для контроля уровня усвоения учебного материала .

Модели могут вступать в различные отношения, направленные на достижение заданного результата, поэтому можно говорить о системе моделей .

Модели в системе могут быть вспомогательными и конечными: при решении задачи вещественные и графические модели – вспомогательные, математическая модель – конечная .

Построение и использование модели в научном познании составляют особый метод – моделирование .

1.2.2. Понятие о моделировании. Учебное моделирование Согласно Н.Г. Салминой [35], моделирование – метод научного познания, при котором изучается не интересующий объект, а заместитель, находящийся с объектом в отношениях соответствия. В философии моделированиетакже определяется как метод познания, при котором изучается искусственная система .

С другой стороны, моделирование – знаково-символическая деятельность, заключающаяся в получении объективно новой информации за счёт оперирования знаково-символическими средствами, в которых представлены структурные, функциональные, генетические связи (на уровне сущности) .

В психологии моделирование рассматривается как одно из учебных действий, входящих в состав учебной деятельности (по В.В. Давыдову) [13] .

Рассмотрим определение И.Б. Новика [32], которое охватывает все признаки модели и способы её использования в научном познании: моделирование он характеризует как опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не интересующий нас объект, а вспомогательная искусственная или естественная система, находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная его замещать в определенном отношении и дающая при его исследовании в конечном итоге информацию о самом моделируемом объекте .

Во всех рассмотренных определениях можно выделить общее:

моделирование – это воспроизведение существенных свойств изучаемого объекта, создание его заместителя и работа на нём .

По мнению В.В. Давыдова, особенность метода моделирования состоит в том, что объект изучается не непосредственно, а путем исследования другого объекта, аналогичного первому. Между исследователем и объектом стоит модель .

При этом она не охватывает изучаемый объект полностью, а выражает лишь некоторые интересующие исследователя стороны. Моделирование предполагает использование абстрагирования и идеализации. Отображая существенные свойства оригинала и отвлекаясь от несущественного, модель выступает как специфическая форма реализации абстракции, т. е. как некоторый абстрактный идеализированный объект .

С понятием моделирование тесно связано понятие аналогия. Если оба сравниваемых объекта (объект и модель) полностью отличаются друг от друга, то аналогии быть не может, следовательно, и моделирование невозможно. Если же они тождественны, аналогия нового ничего дать не может, следовательно, и моделирование не нужно. Моделирование можно и нужно только тогда, когда аналогия модели с объектом раскрывает новые признаки объекта, отраженные в модели, и тем самым дает новое знание исследователю (В.В. Давыдов) .

Таким образом, модель и моделирование – это не одно и то же. Модель создает язык общения, который, опредмечивая содержание объекта исследования, позволяет выявить его сущность. Модель является искусственно созданным языком, который обеспечивает общение. Отличительными чертами моделей является то, что они динамичны, на моделях можно осуществлять определенные предметные действия. Моделирование – это метод познания интересующих нас качеств объекта через модели. Это действия с моделями, позволяющие исследовать отдельные интересующие нас качества, стороны, свойства объекта .

Особое место среди моделей занимают модели применяемые в обучении, т.е. учебные модели. Так же, как и научная – учебная модель представляет собой заместитель объекта изучения. И эта модель должна находиться в определенных отношениях соответствия изучаемому реальному объекту, иначе ее использование не дает точной информации о реальных объектах .

Полная аналогия учебных моделей (в математике, химии и др.) с научными моделями достигается там, где с моделью учащийся работает по формализованным законам, правилам, присущим собственно модели, и только результат работы соотносит с действительностью. Большинство моделей, создаваемых в обучении (для решения задач по математике, химии, математической логике и др.), может выполнять свои функции средства анализа и решения только при условии чёткого отнесения элементов модели и её структуры в целом к реальности (или тексту, описывающему её). Когда работают с моделью, помнят о реальности, стоящей за ней. В этом состоит основное отличие учебных моделей от научных. В.В. Давыдов и А.У.

Варданян [13] выделяют следующие особенности учебных моделей:

1) знаковый характер учебных моделей – они всегда искусственные образования; им присуща наглядность, но это наглядность особого рода, поскольку она фиксирует не некоторое единичное явление, а общие отношения ряда явлений;

2) образный характер учебных моделей – в процессе познания знак и образ не только не исключают друг друга, но и взаимодополняют, выступают как взаимообуславливающие системы; где есть знак, там есть и образ;

3) учебная модель имеет оперативную роль – это значит, что графические схемы или знаковые модели содержат определенные элементы (чертежи, стрелки и т. д.), которые ориентируют на способ работы детей с материалом. Модель указывает способ организации действий детей, направленных на выявление основных свойств изучаемого материала. Внешний вид учебной модели зависит от того, какие стороны оригинала становятся объектом действий ребенка, в какой мере они обобщены;

4) учебные модели имеют эвристическую функцию – это значит, что при работе с моделями школьники получают такое новое знание, которое невозможно или трудно получить при работе с реальным объектом. Своей эвристической функцией модель существенно отличается от наглядного иллюстративного материала .

Учебная модель – это наглядность особого рода, но не следует отождествлять эти понятия. Рассмотрим точку зрения В. В. Давыдова на соотношение принципа наглядности и моделирования в обучении .

Активность психики человека предполагает предметную деятельность человека, его действие с предметами. Использование моделей в обучении связано с тем, что учащиеся сначала действуют с ними под руководством учителя, а затем они самостоятельно строят их. «Наглядность» приобретает при этом характер активной деятельности – но именно и только тогда, когда ребёнок сам делает соответствующее наглядное пособие .

Моделирование, по мнению Давыдова, носит характер внутренней активности субъекта, такая активность не может быть вызвана обычной наглядностью.

При наглядности всегда содержится некоторая предметность:

ребенок наблюдает соответствующие наглядные пособия. Но его действия с ними имеют форму манипулирования, а не воспроизведения в пособии общих и существенных свойств предметов, как это имеет место при моделировании .

Поэтому наглядность позволяет воспринимать ребенку только чувственную конкретность предметов, а модель – единство общего и отдельного, логического и чувственного в предметах. Именно такое единство противоположных моментов действительности характеризует собственно теоретическое понятие и его отличие от эмпирических представлений .

В обучении используются как готовые модели, фиксирующие предмет усвоения, так и модели, создающиеся учащимися с помощью знаковосимволических средств, предложенных учителем. Поскольку моделирование является методом научного познания и умение переходить от одного плана к другому (от реальности к схематизации и научной символике) является необходимым условием теоретического мышления и входит в требования современного стандарта, важно формировать у учащихся обобщенное умение строить модели, которое и предполагает владение методом моделирования .

Исходя из философского определения моделирования, в котором выделяют три этапа: выбор (построение) модели, работу с моделью и переход к реальности, можно предположить, что эти этапы могут быть рассмотрены как необходимые компоненты сложной деятельности учебного моделирования, как её отдельные действия. Поскольку построение модели предполагает предварительный анализ действительности (или текстов, описывающих её), выступающей объектом моделирования, то в состав этой деятельности включено действие анализа действительности (текстов) как предварительный этап .

Каждый компонент действия моделирования имеет своё содержание со своим составом операций и своими средствами, которые согласно психологическим исследованиям должны стать самостоятельным предметом усвоения .

Программа обучения моделированию включает последовательную отработку следующих действий, входящих в её состав:

I. Предварительный анализ материала II. Перевод реальности, словесной информации на знаково-символический язык – построение модели III. Работа с моделью IV. Соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью .

Каждый из этих компонентов имеет своё содержание, свой операционный состав, специальные средства, которые должны выступить предметом усвоения учащихся .

Целью предварительного анализа материала является выявление всеобщего отношения объекта реальности или общего смысла текста, описывающего реальность, который нужно представить в виде модели, выделение в нём смысловых частей, переформулирование их таким образом, чтобы стал возможен перевод их на язык символов. Для этого в материале выделяются существенные признаки, поскольку именно они должны быть представлены в модели. В рамках действия моделирования анализ является подготовительным этапом для её осуществления. Собственно моделирование начинается со следующего этапа .

Перевод текста на знаково-символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, и способствует тем самым поиску и нахождению решения. Целью действия перевода является представление реальности в знаковосимволической форме, то есть построение модели. Механизм перевода на язык графических средств и формул включает два этапа: выделение в тексте отрезков, смысл которых может быть формализован и передан на языке графики или формул, и запись на языке графики или формул выделенной информации .

Эффективность перевода текста определяется видом используемых знаковосимволических средств .

В психолого-педагогической литературе выделяются принципы перевода реальности (или текста) на знаково-символический язык:

1) адекватность, т.е. выбранные знаково-символические средства должны быть удобными для действия перевода, способствовать выявлению скрытых в тексте отношений;

2) автономность, т.е. одинаковые смысловые единицы текста изображаются одинаковыми знаково-символическими средствами, разные смысловые единицы – разными средствами;

3) обобщённость, т.е. при переводе следует идти не от конкретного изображения элементов ситуации, а от условного изображения элементов и отношений между ними;

4) при переводе должна быть сохранена однозначность соответствия между элементами объектов и их изображениями в модели и между отношениями объектов в тексте и их изображениями в модели;

5) структурность, т.е. выделенные части объекта (явления, процесса) после представления их на знаково-символическом языке должны по возможности образовывать законченную структуру .

Важно отметить, что учебные модели составляют внутренне необходимое звено процесса усвоения теоретических знаний и обобщённых способов действия .

Нужно помнить, что не всякое изображение можно назвать учебной моделью, а лишь такое, которое фиксирует именно всеобщее отношение некоторого целостного объекта и обеспечивает его дальнейший анализ. Поскольку в учебной модели изображается некоторое всеобщее отношение, найденное и выделенное в процессе анализа реальности, то содержание этой модели фиксирует внутренние характеристики объекта, ненаблюдаемые непосредственно. Можно сказать, что учебная модель, выступая как продукт мыслительного анализа, затем сама может являться особым средством мыслительной деятельности человека .

Следующий этап – работа с моделью – предполагает анализ, видоизменение и преобразование модели с целью изучения свойства выделенного всеобщего отношения объекта. Это отношение в реальных условиях как бы «заслоняется» многими частными признаками, что в целом затрудняет его специальное рассмотрение. В модели это отношение выступает зримо и, можно сказать, «в чистом виде». Поэтому, преобразовывая и переконструируя учебную модель, школьники получают возможность изучать свойства всеобщего отношения как такового, без «затемнения» привходящими обстоятельствами. На этом этапе учащимся могут быть предложены задания на анализ, на исправление, на составление по данной модели другой и на преобразование модели .

Последний этап в деятельности моделирования — соотнесение результатов решения с реальностью — имеет целью получение об этой реальности новой информации. Этот этап важен не только потому, что построение модели является не самоцелью, а способом углубленного изучения действительности, средством решения учебной задачи. Возврат к реальности необходим для оценки адекватности результатов, полученных на модели, и соответственно для оценки используемой модели. Этот этап важен и для формирования умения оперировать им в разных планах .

Последовательность построения модели в обучении может быть разной:

1) Абстрактный материал (модели) появляется в конце учебной работы по какому-либо разделу. То есть учащиеся сначала изучают конкретные, частые предметы, объекты, которые затем сравниваются. В результате сравнения выделяется всеобщее свойство данных предметов, объектов, затем оно фиксируется в модели. В этом случае модель служит средством фиксации свойств какого-либо материала, обнаруженных детьми в процессе решения многих конкретных задач .

2) Абстрактный материал (модели) вводится в самом начале учебной работы. То есть учащиеся в начале изучения какой-либо темы знакомятся с моделью, в которой зафиксированы всеобщие свойства, характерные для целого класса предметов, объектов. После выделения связей, закономерностей, свойств и общего способа решения учащиеся переходят к решению и анализу частных задач В этом случае модель служит средством «схватывания» детьми оснований предметного действия .

На современном этапе образования под развивающим обучением понимается обучение младших школьников общим приемам умственной деятельности, а на уроках математики – общим приемам по усвоению математических понятий. Данный процесс можно реализовать, используя прием математического моделирования. Он дополняет учебную работу школьников поисковой деятельностью, помогает формированию таких приемов умственной деятельности как абстрагирование, анализ, синтез; развивает математическое мышление .

Метод построения математических моделей – метод математического познания действительности изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата .

Математической моделью можно назвать специальное описание (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально - логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической форме выражает основные закономерности, свойства изучаемого объекта .

Математическое моделирование – опиисание анализируемого объекта внешнего мира с помощью математической символики .

Как алгоритм математической деятельности метод математического моделирования содержит три этапа:

1) формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели объекта (явления, процесса);

2) исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики;

3) перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации) .

При этом должны соблюдаться следующие требования:

1) модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств;

2) модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при её построении допущениями;

3) модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте .

Во введении понятий математическая модель и моделирование позволяют решать в учебном процессе следующие актуальные задачи:

развитие мышления и интеллекта;

–  –  –

овладение элементами математической культуры .

Чаще всего математическая модель представляет собой несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности .

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования .

Реализация универсального математического метода познания есть основная цель и задача современной математики. Она включает, в первую очередь, построение новых, неведомых математических моделей, в частности в биологии, для познания жизни и деятельности мозга, микромира, новых, фантастических технологий и техники, а также познание экономических и социальных явлений также с помощью математических моделей различными математическими методами .

1.3. Специфика обучения младших школьников использованию моделирования на уроках математики Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование. Более того, в концепции развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова оно включено как учебное действий, которое должно быть сформировано уже к концу начальной школы. Содержанием учебной деятельности выступают теоретические знания, овладение которыми развивает основы теоретического мышления .

Изложение научных знаний осуществляется способом восхождения от абстрактного к конкретному, от общего к частному (когда учащиеся сначала ищут и фиксируют исходную общую «клеточку» изучаемого материала, а затем, опираясь на нее, выводят многообразные частные особенности данного предмета). Такое усвоение направлено на выявление школьниками условий происхождения содержания усваиваемых ими понятий. Все это делает приоритетным задачу использования приема моделирования в школьном обучении .

Моделирование как действие обучаемого применялось с первых шагов передачи человеком своего опыта подрастающему поколению. Однако лишь настоящему времени принадлежит его активное теоретическое осмысление, следовательно, и более осознанное применение на практике. Не следует путать модель как наглядное пособие и моделирование как учебное действие. Модель – это некий готовый, кем-то созданный, материальный или идеальный продукт .

Моделирование – это процесс, в котором идет создание продукта и одновременно его осознание. Моделирование выполняет функцию УУД только тогда, когда ребенок на основе созданного в голове образа сам создает модель и в процессе деятельности получает информацию о моделируемом предмете или явлении .

Рассмотрим значение моделирования в учебном процессе. Моделирование является способом исследования действительности, а значит формирования и развития исследовательских навыков, способом получения такой информации о предметах и явлениях, которую невозможно получить другим путем .

Моделирование позволяет получить информацию об объектах и явлениях окружающего мира, которые нельзя принести в класс для изучения, нельзя увидеть целиком в окружающем мире. Для формирования представлений о земном шаре изучаемый объект невозможно принести в класс, рисунок или таблица дадут лишь плоское его изображение. Для того чтобы иметь полное представление о поверхности земного шара, необходимо создать его модель .

Использование масштаба, пластилина, бумаги и других подручных средств поможет ученику в процессе деятельности изобразить воображаемую модель, закрепить первичное представление и по ходу деятельности устранить неточности. Моделирование позволяет формировать целостное представление о довольно длительно протекающих процессах, когда наблюдение возможно, но нецелесообразно (например, развитие растения из семени). Моделирование дает возможность выделить недоступные простому наблюдению свойства и отношения объектов, процессов, их частей. Велика роль моделирования в развитии пространственных представлений, что особенно важно именно в младшем школьном возрасте. Следующей существенной положительной стороной моделирования является то, что этот способ исключает формальную передачу знаний учащимся: изучение объекта или явления протекает в ходе активной практической и умственной деятельности ребенка. Процесс создания модели всегда сопряжен с выбором вариантов действий, с необходимостью придумывать какие то новые подходы, делать какие-то предсказания. Очевидно, что применение моделирования развивает конкретно-образное и логическое мышление, а также творческие способности ребенка .

В работах, проводимых под руководством Л.А.

Венгера [9], сформированы требования к обучению детей моделированию:

- целесообразно начинать с моделирования единичных конкретных ситуаций, а позднее – с построения моделей, имеющих обобщённый смысл;

- следует начинать с иконических, сохраняющих известное внешнее сходство с моделируемыми объектами, приходя к моделям, представляющим собой условно–символические изображения отношений (типа кругов Эйлера, графиков и др.);

- обучение моделированию осуществляется легче, если начинается с применения готовых моделей, а затем – их построения;

- начинать следует с формирования моделирования пространственных отношений, т.к. в этом случае форма модели совпадает с типом отражённого в ней содержания; затем переходить к моделированию временных отношений, а ещё позднее – моделированию всех других типов отношений (механических, звуковысотных, социальных, математических), заканчивая логическими .

Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний и умений, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированности универсальных учебных действий. Овладение учащимися универсальными учебными действиями происходит в контексте разных учебных предметов и, в конечном счете, ведет к формированию способности самостоятельно успешно усваивать новые знания, умения и компетентности, включая самостоятельную организацию процесса усвоения, то есть умение учиться .

Под математическим развитием ребенка младшего школьного возраста будем понимать целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных (базовых) свойств и качеств мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности .

Цель математического развития детей – это стимуляция и развитие математического мышления (соответствующих возрасту компонентов и качеств этого мышления). Главным направлением организации математического развития является целенаправленное развитие мышления .

Модель изучаемого математического понятия или отношения играет роль универсального средства изучения свойств математических объектов. При таком подходе к формированию начальных математических представлений учитывается не только специфика математики (науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходит обучение детей общим способом деятельности с математическими моделями реальной действительности и способом построения этих моделей .

Являясь общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, конкретизация, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления и формирование полноценной мыслительной деятельности. Таким образом, можно считать, что обучение младших школьников использованию приема моделирования будет обеспечивать формирование и развитие мышления ребенка, а, следовательно, будет обеспечивать его математическое развитие [8] .

Несформированность полноценной мыслительной деятельности приводит к тому, что усваиваемые ребенком знания оказываются фрагментарными, а порой и просто ошибочными. Это серьезно осложняет процесс обучения, снижает его эффективность. Говоря о формировании мыслительной деятельности, мы имеем в виду ее роль в формировании всесторонне развитой личности, в общем развитии учащихся. В самом общем плане основная цель обучения — развитие учащегося, под которым обычно понимают умственное развитие .

Теория поэтапного формирования умственных действий исходит из того, что процесс обучения – это процесс овладения системой умственных действий .

Данный процесс является достаточно длительным и состоит из нескольких этапов, начиная с этапа материального или материализованного действия, переходя к этапам речевого действия, внутреннего умственного действия. Этап материализованного действия предполагает построение и использование моделей для усвоения знаний и умений .

При обучении математике используются различные способы построения моделей с опорой на определенный набор знаково-символических средств, которые позволяют создавать математическую модель .

Введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной .

Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, учителю недостаточно лишь демонстрировать им разные научные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений. Нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Когда учащиеся, решая математическую задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым они овладевают методом моделирования .

Обучение младших школьников моделированию проходит через следующие этапы:

1. Подготовительный этап – формирование приёмов внутренней стороны метода моделирования в единстве с внешней стороной, который в свою очередь включает несколько ступеней:

первая ступень – формирование операции сопоставления объектов (упражнения на выделение сходных признаков объектов);

вторая ступень – формирование операции противопоставления объектов (упражнения на установление различий между объектами);

третья ступень – формирование операции обобщения (упражнения на обобщение, основанные на наблюдениях и теоретических знаниях) .

2. Основной этап – формирование приёмов технологической стороны метода моделирования в единстве с внутренней и внешней сторонами .

Первая ступень основного этапа – формирование операции построения модели (упражнения на анализ и выбор модели) .

Вторая ступень – формирование операции преобразования модели (упражнения на перекодирование информации) .

Третья ступень (заключительная) – формирование операций по интерпретации данных, полученных на модели (упражнения на достраивание, исправление, конкретизацию моделей) .

Обучающие задания знакомят младших школьников с моделями и нацелены на обучение учащихся умению пользоваться моделями, выполнять действия, входящие в состав моделирования .

Целенаправленное обучение учащихся моделированию, включает детей в творческую и алгоритмическую деятельность, формирует общеинтеллектуальные умения, учит пользоваться логическими рассуждениями, контролировать процесс деятельности .

Итак, общий план применения моделирования как учебного действия выглядит следующим образом:

1. Первоначальное ознакомление с объектом путем наблюдения отдельных его составляющих; постановка опытов, работа с наглядными пособиями, текстом и т.д .

2. Анализ полученных детьми восприятий и представлений в ходе обсуждения, нахождение общих признаков, сторон изучаемых предметов и явлений, определение ведущих этапов, существенных признаков объекта;

3.Построение каждым учеником идеальной (мысленной) модели в ходе самостоятельной работы;

4.Коллективное обсуждение вариантов моделей. Ученик, предлагающий свою модель, может изобразить ее на бумаге (доске) и использовать как наглядность к своей сначала мысленно построенной, а затем словесно излагаемой модели;

5. Выбор формы предъявления модели (схема, рисунок, таблица, символ, материальная модель и т.д.). Данный этап может быть и коллективным, и индивидуальным - это зависит от возраста учащихся и частоты применения моделирования в учебном процессе;

6.Самостоятельное моделирование объекта, явления;

7. Контроль учителем, взаимоконтроль и самоконтроль соответствия созданной модели оригиналу;

8.Использование данной модели в учебном процессе (не обязательно на данном уроке) .

Таким образом, модель является средством обучения, а ее создание – моделирование – способом действия, в котором идет процесс получения информации и развития личности ребенка .

Глава 2. Методические основы изучения табличных случаев сложения на основе моделирования в начальном курсе математики

2.1. Изучение арифметических действий в начальном курсе математики. Математический смысл действия сложения В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений .

Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи .

То есть арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения этого раздела программы – выработать у учащихся начальных классов умения решать арифметические действия и задачи .

Изучение конкретного смысла арифметических действий строятся в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с детьми чисел (десяток – сотня – тысяча – многоязычные числа). Изучение арифметических действий в пределах 10 имеет некоторые особенности. Десять – основание десятичной системы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуются в результате счета простых единиц (без использования других разрядных единиц). Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть. При формировании навыков счета и отсчета важно наряду со счетом отдельных предметов упражнять детей в счете групп, состоящих из однородных предметов .

Прежде чем приступить к изучению арифметических действий важно отработать умение считать, поэтому на каждом уроке включаются упражнения в счете предметов – именно счет предметов – а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают предметы окружающей обстановки, предметные картинки, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др .

Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» – это только один предмет. Дети, считая предметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами). Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов. На этой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения .

Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов или удалением части данного множества предметов. Такие упражнения выполняются начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобретает ознакомление с действиями над числами. Программами предусматривается ознакомление с основными приемами вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован применительно к любому случаю сложения и вычитания .

С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С этой целью можно предложить такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?» .

Упражнения на сравнение множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения элементов «один к одному» .

Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не только где больше, а где меньше предметов, но и на сколько предметов больше, на сколько меньше. При выполнении упражнений с опорой на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»;

например, если квадратов на 1 больше, чем треугольников (показывает лишний квадрат), то треугольников на 1 меньше, чем квадратов .

Также включают упражнения на преобразование не равночисленных множеств в равночисленные и обратно. Например, дети установили, что яблок на 1меньше, чем груш, а груш на 1 больше, чем яблок. Учитель ставит вопрос: «Что надо сделать, чтобы яблок стало столько, сколько яблок?» (Убрать одну грушу) .

В целях раскрытия конкретного смысла сложения и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу .

Поэтому при изучении арифметических действий рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах 10 (а+2, а+3, а+4, а+5). Результаты действий находят путем соответствующих операций над множествами, что помогает детям понять конкретный смысл сложения и вычитания. После того как дети найдут результат сложения, сразу выясняют, как получили этот результат. (Сколько получится, если к 3 прибавить 2?) .

На основе таких упражнений учащиеся постепенно запоминают не только результаты действий в пределах 10, но и состав чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 из слагаемых. Состав же этих чисел иллюстрируются с помощью операций над множествами. При раскрытии конкретного смысла арифметических действий рекомендуется научить детей решать примеры в два действия вида 6+1+1, 9-1-1, чтобы дети закрепили умения прибавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Вначале решение таких примеров иллюстрируют действиями с предметами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось?

придвиньте еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите пример: 4+1+1; объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1,получится 5, к 5 прибавить 1, то получится 6) .

Так же раскрывается смысл вычитания 8-1-1. Затем приступают к рассмотрению приема прибавления и вычитания числа 2. Решение первых примеров выполняется с опорой на предметный счет. Решается пример 4+2. пусть эти букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета - число 2. покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4 букетам (ученик переносит цветы на окно, сначала дин букет, потом второй). Запишем, что сделал Вова .

4+1=5 5+1=6 4+2=6 С помощью аналогичных упражнений раскрываются смысл действий, а+3, а+4, а+5 .

От операций с множествами дети постепенно переходят к счету предметов, знакомятся с числами натурального ряда, учатся сравнивать, находить их сумму и разность. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами и пересчитывания элементов множества, полученного в результате объединения двух множеств, а затем и с использованием некоторых приемов действий над числами (присчитывание и отсчитывание по единице и группами и др.) .

В курсе математики начальной школы находит отражение теоретикомножественный подход к толкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с которым сложение связано с операцией объединения, вычитание – с операцией дополнения .

Изучение каждого свойства сложения и вычитания строится примерно по одному плану: сначала, используя элементы множеств, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей применить его при выполнении различных упражнений учебного характера, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каждого конкретного случая .

При раскрытии конкретного смысла арифметических действий в пределах 1000 дети знакомятся с новыми приемами прибавления и вычитания числа по его частям .

Таким образом, навыки сложения и вычитания должно быть доведено до автоматизма, т.е. конечным результатом рассмотрения приемов вычислений, используя элементов множества, и выполнения соответствующей системы упражнений должно стать прочное («на всю жизнь») усвоение детьми всех случаев сложения и вычитания на память. Учащиеся должны уметь свободно выполнять операции сложения, вычитания .

Действие сложение рассматривается с точки зрения различных теорий:

количественной теории, аксиоматической теории и теории измерения величин .

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное число» и «предшествующее число» .

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а, следующее за а, т.е. а +1= а, и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2+3=5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. происходит так потому, что в сумме 2+4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. таким образом, сумму а +b можно найти, если известна сумма а +b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции .

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

( а N) а +1= а 1) (, b N) +b= ( +b) .

2) Число а +b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b слагаемыми .

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а +b единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна [38] .

С точки зрения количественной теории сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств .

Если A и B – конечные множества и A B =, то m (A U B) = m (A) +m (B). Именно этот факт положен в основу определения суммы целых неотрицательных чисел, где m (A) - это численность множества A; m (B) - это численность множества B .

Суммой целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число а +b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств A и B таких, что m (A) = а, m (b) =b .

+b = m (A U B), где = m (A); b = m (B); A B = Число а и b при этом называются слагаемыми .

Операция, с помощью которой по данным целым неотрицательным числам а и b находится целое неотрицательное число c, являющееся их суммой, называется сложением .

В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных чисел вводится на конкретных примерах и задачах, решение которых связано с необходимостью объединять рассматриваемые множества и пересчитывать элементы в полученном объединении .

Длина является величиной характеризующей пространственную протяженность объектов. Тем самым можно выяснить смысл арифметических операций над натуральными числами, рассматриваемые как меры длин отрезков .

При непосредственном измерении величин можно установить равны они или нет .

Если величины не равны, то можно указать, какая из них меньше, а какая больше .

Для того чтобы получить более точный результат, необходимо величины измерить. Измерение различных величин, в техническом отношении, носит совершено различный характер. Для длин он один, для масс – он другой, для времени – третий и т.д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т.е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину .

Пусть отрезок z состоит из отрезков x и y, и пусть длины этих отрезков при выбранной единице e выражаются натуральными числами c, а, b, т.е. c= m e (z), а = me (x), b= m e (y). Это означает, что отрезок x состоит из а отрезков, равных e;

отрезок y состоит из b отрезков, равных e. Следовательно, весь отрезок z состоит из а +b отрезков, равных e т.е. me (z) = c = а+b = me (x) +me (y). Таким образом, можно дать определение суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел а и b называется натуральное число а+b, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков x и y, мерами длин которых являются числа а и b:

+b= me (z), где z= x+y; me (x) = ; me (y) = b Существование и единственность суммы натуральных чисел вытекают из существования и единственности меры длины отрезка при выбранной единицы измерения .

Приведем основные законы, которым удовлетворяет операция сложения целых неотрицательных чисел:

1) ( а,b Ne) (а+b= b+а) - коммутативный закон сложения .

2) ( а, b, c Ne) ( (а+b) + c = а + (b+c)) – ассоциативный закон сложения [3] .

Коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых .

Итак, сложение – это операция объединения конечных непересекающихся множеств; арифметическое действие, обозначаемое знаком + (плюс) .

В области целых положительных чисел в результате действия сложения с данными числами – слагаемыми – получается новое число – сумма, которое содержит столько единиц, сколько их во всех слагаемых вместе. То есть, сумма а в есть некоторое число с – конечное число объединения множеств а и в .

Слагаемое, сумма – это название компонентов и результата действия сложения. Дается двойное значение суммы: как операционное значение, так и результат действия .

а+в=с

–  –  –

В основе изучения действия сложения в начальной школе на уроках математики лежит практическое действие по объединению двух данных множеств предметов. При раскрытии конкретного смысла действия сложения учащиеся должны установить связь между данной операцией и соответствующим ей арифметическим действием, а также познакомиться с терминологией и символикой .

2.2. Методика работы над табличным сложением

К табличным случаям относят приемы сложения однозначных чисел и соответствующие им случаи вычитания. Они изучаются в темах «Сложение и вычитание в пределах 10», «Сложение и вычитание в пределах 20» .

2.2.1. Методика работы над сложением в пределах 10 Задачи изучения темы

1. Познакомить детей с вопросами теории:

- переместительным свойством сложения,

- связью между компонентами и результатом действия сложения,

- терминологией: названиями знаков «+» – плюс, названиями компонентов и результатов действия сложения (слагаемые, сумма) .

2. Познакомить с вычислительными приемами сложения в пределах 10 .

Научить вычислять в уме, на основе выполнения умственных действий, без опоры на наглядность или выполнение предметных действий .

3. Выработать осознанные и прочные вычислительные навыки, доведенные до автоматизма, по отношению ко всем табличным случаям, а также добиться прочного усвоения состава чисел первого десятка .

Многие методисты считают, что случаи сложения дети должны непроизвольно запомнить в процессе выполнения предметно-практических действий. А затем, после составления таблиц, нужно дать установку на их запоминание. По мнению М.А. Бантовой [5], выработка осознанных вычислительных навыков возможна только тогда, когда дети освоят рациональные приемы вычислений, т.е. узнают, как удобнее прибавлять и вычитать, научатся применять эти приемы и постепенно запомнят результаты (таблицы). Именно такое поэтапное овладение вычислениями, а не прямое заучивание таблиц способствует развитию внимания, речи и мышления первоклассников, а также готовит их к дальнейшим более сложным вычислениям .

Поэтому целесообразно предусмотреть поэтапное знакомство с вычислительными приемами сложения в пределах 10 с последующим составлением и постепенным заучиванием таблиц .

Этапы изучения темы В 1 классе предусмотрены следующие этапы изучения сложения и вычитания в пределах десяти [18] .

1-й этап. Приемы сложения вида + 1 .

Теоретическая основа данного вычислительного приема – вопросы нумерации (знание принципа построения натурального ряда чисел).

Суть приема:

прибавить 1 – значит назвать следующее число .

На данном этапе дети также знакомятся с названием арифметического действия сложения, знаком «+» – плюс. Составляются таблицы сложения для случая вида + 1 .

2-й этап. Приемы сложения вида + 2, + 3, + 4 .

Теоретическая основа данных вычислительных приемов – конкретный смысл арифметических действий сложения. Суть приемов: прибавление по частям .

На данном этапе составляются таблицы сложения для случаев вида + 2, + 3, + 4 .

3-й этап. Перестановка чисел при сложении. Приемы сложения вида + 5, + 6, + 7, + 8, + 9 .

Теоретическая основа данных вычислительных приемов – переместительное свойство сложения. Суть приемов: перестановка слагаемых .

На данном этапе составляются таблицы сложения для случаев вида + 5, + 6, + 7, + 8, + 9 .

На всех этапах ведется работа над усвоением состава чисел первого десятка .

Подготовка к изучению темы Подготовка ведется при изучении нумерации чисел от 1 до 10. Дети знакомятся с конкретным смыслом действия сложения, знаком действия, учатся записывать и читать примеры на сложение (например: 2 + 3 = 5 – к двум прибавить 3, получится 5). На основе действий с предметами или иллюстрациями учащиеся решают примеры на сложение в пределах десяти. Постепенно усваивается связь: если к 2 прибавить 3, получится 5, значит, 5 состоит из чисел 2 и 3. Так происходит знакомство с составом чисел первого десятка и заучивание наизусть состава чисел 2, 3, 4, 5. А работа над усвоением первоклассниками состава чисел 6, 7, 8, 9, 10 осуществляется в теме «Сложение и вычитание в пределах 10». На этапе подготовки важно также научить детей выполнять присчитывание и отсчитывание, а не только пересчет предметов .

Методика работы над вычислительными приемами на каждом этапе 1-й этап. Приемы сложения вида + 1 .

При изучении нумерации дети уже решали примеры вида + 1, объясняя, как образуется то или иное число. При этом особое внимание учащихся обращается на то, что когда к числу прибавляют 1, то получают число, которое следует за ним при счете .

С повторения этого материала и нужно начать ознакомление с приемами прибавления единицы. После рассмотрения нескольких случаев прибавления числа 1 в опоре на предметно-практические действия или на числовую лесенку нужно подвести детей к пониманию смысла вычислительных приемов, к переформулировке того, с чем они познакомились при изучении нумерации: если к числу прибавляют 1, то получают следующее число. Задается вопрос: «Как же прибавить к числу единицу?» Делается вывод, что нужно назвать следующее число .

Далее составляются таблицы сложения для случаев вида + 1. Ответы первых примеров из таблицы учащиеся находят в опоре на иллюстрации или на числовой луч. А затем следует поощрять нахождение результатов на основе вычислений в уме, и только для проверки правильности найденного ответа использовать наглядные опоры .

Полезно выяснить, кто из учеников уже запомнил таблицы. Ему другие дети предлагают примеры вразбивку. Играют в угадывание задуманного примера .

Далее всем первоклассникам дается установка на запоминание таблиц .

2-й этап. Приемы сложения вида + 2, + 3, + 4 .

На этапе изучения нумерации важно приучать детей выполнять присчитывание (а не пересчет предметов) при нахождении результата сложения .

Например, в корзинку кладется 5 грибов, нужно прибавить еще 2. Дети выполняют присчитывание: 5 грибов, кладем в корзину еще 1 гриб, будет 6, да еще 1, будет 7. При этом не производится пересчет тех грибов, которые уже лежат в корзине .

Присчитывание является основой для введения новых вычислительных приемов. Подготовкой также служит решение примеров вида + 1 + 1. В этих случаях по шкале линейке или числовому ряду делается два шага вправо .

Дети впервые встречаются с решением примеров в два действия. Поэтому надо рассмотреть, как они записываются, читаются и решаются. Например, 5 + 1 + 1: к 5-ти прибавить 1 и еще 1, или 5 плюс 1 и еще плюс 1. Иногда добавляют слова «полученный результат».

При записи примеров можно посоветовать детям записывать полученный результат над первым знаком действия, это предупреждает ошибки:

5+1+1=7 Программой предусмотрено поэтапное введение приемов: сначала + 2, затем + 3, а потом + 4. При этом на ознакомление с приемом и его закрепление отводится несколько уроков .

Для изучения каждого из приемов используется следующая методика:

- повторяется состав того числа, которое мы прибавляем;

- повторяются ранее выученные таблицы;

- рассматривается на основе выполнения действий с предметами, как можно прибавить число по частям;

- из всех возможных вариантов в процессе совместного обсуждения выбираются наиболее удобные .

Такими вариантами являются для каждого из приемов соответственно:

+ 2 .

+ 1+ 1 + 3 + 3 .

+ 1+ 2 + 2+ 1 + 4 .

+ 2 + 2

- различные примеры на данные вычислительные приемы решаются также с помощью рисунков или числового ряда (шкалы линейки);

- происходит обобщение способа действия. Например: чтобы к числу 3 прибавить 4, нужно прибавить 2, а потом еще 2 .

На этапе закрепления дети решают примеры сначала с подробным объяснением вслух, чтобы вспомнить способ действия, а затем с объяснением про себя. Такие упражнения способствуют формированию осознанности действий и навыков самоконтроля .

Детям можно разрешать пользоваться тем способом вычисления, который им наиболее удобен. Например, для случая + 4 кому-то из детей может показаться более удобным не вариант + 2 + 2, а вариант + 1 + 3, или + 3 + 1 .

Отдельный урок рекомендуется посвящается составлению и заучиванию таблиц. М.А. Бантова [7] предлагает показывать детям, как заучивают таблицы .

Например, прочитать вслух и понять, как построена таблица; прочитать про себя, стараясь запомнить каждый пример с ответом; закрыть ответы и читать примеры, стараясь вспомнить ответы, проверяя себя по таблице; закрыть примеры и по ответам стараться вспомнить примеры .

Для запоминания таблиц на последующих уроках важно предлагать разнообразные упражнения, в том числе такие:

- устный счет с использованием средств обратной связи (математического «веера», разрезных цифр и т.п.);

- дидактические игры, например круговые примеры, соединение примеров с ответами (например «Приведи корабль в свою гавань» и т.п.);

- исправление ошибок, например, «Найди ошибки Незнайки» и др.;

- работа детей в парах: взаимная проверка знания таблиц в игровой форме;

игра в домино (на одной половинке записан пример, а на другой – число – ответ

–  –  –

При составлении таблиц желательно одновременно проговаривать состав чисел, например: 1 + 5 = 6, 6 – это 1 и 5. Надо проследить, как изменяются числа в каждом столбике. Например, в первом столбике 1-е число в каждом примере увеличивается на 1, второе число не изменяется, это число 5; результат увеличивается на 1 .

Выясняется, какие случаи не записаны в таблице и почему. Для тех детей, кому еще нужна наглядная опора для вычислений, может быть составлена общая таблица, включающая и новые, и ранее изученные случаи .

В процессе работы над темой нужно учитывать, что у некоторых первоклассников долго сохраняется привычка использовать для вычислений пальцы рук. Поэтому важно постепенно перевести их на использование числового ряда в качестве наглядной опоры, а затем уже усложнять характер учебных действий, приучать к выполнению вычислений в умственном плане .

2.2.2. Методика работы над сложением в пределах 20 Сложение с переходом через десяток вида 9 + 4 .

Задачи изучения темы

1. Познакомить с вычислительными приемами сложения с переходом через десяток вида 8 + 5. Научить вычислять в уме, на основе выполнения умственных действий .

2. Познакомить с составом чисел второго десятка .

3. Добиться запоминания таблицы сложения однозначных чисел, сумма которых больше 10-ти, и состава чисел второго десятка .

Методика изучения темы Теоретическая основа данного вычислительного приема – конкретный смысл арифметического действия сложения. Суть приема: прибавление по частям, сначала прибавляем столько, чтобы получить 10 (дополняем до 10-ти), а затем, вспомнив состав того числа, которое нужно прибавить, прибавляем к 10-ти оставшееся .

На данном этапе составляются таблицы сложения + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, для случаев, когда в сумме получается больше 10-ти. Происходит знакомство с составом чисел второго десятка (от 11 до

18) и его постепенное усвоение .

Методика работы над вычислительным приемом Сначала раскрывается общий прием сложения с переходом через десяток .

Он является очень трудным для учащихся коррекционных школ. Трудности связаны с тем, что одновременно происходит актуализация полученных знаний, их упорядочение и последовательное выполнение ряда логических операций .

Например, чтобы сложить числа 7 и 5, нужно выполнить следующие операции:

- разложить второе слагаемое 5 на два числа так, чтобы одно из них дополняло первое слагаемое 7 до 10;

- дополнить первое слагаемое до 10;

- к полученному числу 10 прибавить оставшееся число 2 .

Учащиеся затрудняются в разложении второго слагаемого, т.к., чтобы его разложить, нужно мысленно произвести две операции: определить, сколько единиц не хватает в первом слагаемом до десятка; разложить второе слагаемое .

Вторая трудность заключается в том, чтобы удержать в памяти число, которое осталось после дополнения первого слагаемого до 10. Например, дети дополнили 7 до 10 (7 + 3 = 10), но не помнят, сколько осталось прибавить к 10-ти .

Поэтому особое внимание нужно уделить подготовке к введению приема, увеличив количество подготовительных упражнений. Требуется тщательный подбор материала, переход от более легких заданий к более трудным, широкое использование наглядности .

Подготовка к введению данного приема:

- повторение состава чисел первого десятка и таблиц сложения в пределах 10;

- дополнение однозначных чисел до 10;

- прибавление к 10 однозначных чисел;

- решение примеров вида 8 + 2 + 3 (обязательно выясняется, сколько всего мы прибавили к 8) .

Для ознакомления с приемом обычно предлагается использовать наборное полотно с двумя десятками карманов, расположенных в два ряда. Детям дается задание решить пример 7 + 5, используя наборное полотно. Сначала нужно сосчитать, сколько карманов в каждом ряду (по 10 карманов в каждом ряду). В первый ряд ставится 7 кругов синего цвета. Предлагается прибавить к ним 5 кругов красного цвета. Дети убеждаются в том, что удобно добавить в первый ряд 3 круга, получится 10, а остальные круги поставить во второй ряд, т.е. к 10-ти прибавить 2. Далее ученикам предлагается объяснить, как прибавляли к 7-ми 5 .

Примерное объяснение: прибавляли число 5 к 7-ми по частям. Сначала дополнили 7 до 10-ти, для этого к 7-ми прибавили 3. Осталось прибавить 2, к 10ти прибавить 2, будет 12. Выполняется запись решения.

Она возможна в нескольких формах:

7 + 5 = 12 7 + 5 = 12 7 + 5 = 12 7 + 5 = 12 5=3+2 7 + 3 + 2 = 12 32 32 7 + 3 = 10 10 + 2 = 12 В первой и второй записи используются лучи, но во второй записи число, которым мы дополняем до 10-ти, подписывается прямо под первым слагаемым .

Учитель может выбрать одну из форм или на разных этапах применять разные формы записи .

Для знакомства с приемом можно использовать и другие наглядные средства, помогающие лучше понять процесс дополнения до 10 и прибавления по частям. Это могут быть счеты, бруски и кубики из арифметического ящика, треугольные модели десятков и кружки для изображения единиц .

Например: 7 + 5 = 12 После аналогичной работы над другими примерами такого вида (8 + 4, 9 + 3 и т.п.), которые решаются с помощью наглядности (на основе предметных действий, иллюстраций на доске или в учебнике) или без нее, нужно выполнить обобщение способа вычисления, например, предложить детям составить памяткуалгоритм.

Она может быть такой:

буду прибавлять число по частям;

сначала прибавлю столько, чтобы получилось 10 (дополню первое число до 10-ти);

определю, сколько осталось прибавить. Для этого вспомню состав второго числа;

прибавлю к 10-ти оставшиеся единицы;

прочитаю ответ .

Памятка служит также средством для осуществления самоконтроля и основой для комментирования собственных действий, выполняя тем самым коррекционную функцию .

На последующих уроках на основе данного вычислительного приема поэтапно рассматриваются 20 случаев сложения с переходом через десяток. Они вводятся в порядке увеличения второго слагаемого.

Составляется таблица сложения в пределах 20-ти в следующей последовательности [6]:

- прибавление чисел 2 и 3: 9 + 2, 9 + 3, 8 + 3;

- прибавление числа 4: 7 + 4, 8 + 4, 9 + 4;

- прибавление числа 5: 9 + 5, 8 + 5, 7 + 5, 6 + 5;

- прибавление числа 6: 9 + 6, 8 + 6, 7 + 6, 6 + 6;

- прибавление числа 7: 9 + 7, 8 + 7, 7 + 7;

- прибавление чисел 8 и 9: 8 + 8, 9 + 8, 9 + 9 .

Наиболее слабым учащимся можно на этапе закрепления разрешить решать примеры с частичным использованием наглядных пособий. В этом случае наглядно изображается только второе слагаемое. Например, нужно 8 + 7. Ученик берет 7 предметов (второе слагаемое 7). Рассуждает так: к 8-ми прибавить 2, будет 10 (отодвигает 2 предмета), осталось прибавить 5, 10 + 5 = 15. В этом случае школьник помогает себе с помощью пособия разложить второе слагаемое и удержать в памяти оставшуюся часть. В качестве наглядной опоры можно рисовать палочки. Изображаем с их помощью второе слагаемое. Зачеркиваем часть палочек, с помощью которых дополняем до 10-ти. Незачеркнутые палочки показывают, сколько осталось прибавить к 10-ти .

Работа на этом этапе должна завершиться составлением сводной таблицы сложения [5]. По ней полезно проследить, как изменяется сумма в каждом из столбцов, изменялось ли первое слагаемое, как изменялось второе слагаемое .

Надо обратить внимание детей на то, что каждая таблица заканчивается случаем сложения равных слагаемых, и выяснить, почему не надо продолжать таблицу .

Для запоминания таблиц и состава чисел второго десятка нужно предлагать разнообразные упражнения: дидактические игры, круговые примеры, занимательные рамки, ребусы, цепочки и др .

Большое внимание нужно уделять заучиванию таблиц сложения в пределах 20-ти и состава чисел второго десятка. Для этого нужно использовать дидактические игры и разнообразные упражнения, в том числе и творческого характера .

С учетом того, что вычислительные навыки формируются у разных детей не одновременно, нужно использовать дифференцированные задания. Например, одна группа детей выполняет вычисления в уме, без наглядной опоры, а другой группе разрешается использовать частичную наглядность или подробную запись примеров .

Итак, табличные случаи сложения представляют собой систему знаний, усвоение которых должно быть доведено до уровня навыка. Важными факторами обеспечения познавательной деятельности при изучении сложения являются предъявление информации в удобной для восприятия младших школьников форме и организация деятельности по ее усвоению. В качестве такой формы выступает использование учебных моделей, то есть – прием моделирования .

2.3. Анализ учебников математики для начальной школы по проблеме использования моделирования при изучении табличных случаев сложения Рассмотрим учебники по математике для начальной школы нескольких образовательных систем с целью анализа возможности использования моделирования при изучении табличных случаев сложения .

1. Истомина Н.Б. Математика. 1 класс. Учебник. Часть 1 .

С.81. Сложение чисел можно изобразить на числовом луче .

–  –  –

Истомина Н.Б. Математика. 1 класс. Учебник. Часть 2 .

86. Запиши равенство, которое соответствует рисунку .

247. На одной полке 8 книг, а на другой полке на 2 книги больше .

Обозначь каждую книгу квадратом и покажи, сколько всего книг на двух полках .

Истомина Н.Б., Редько З.Б. Тетрадь по математике. 1 класс. Часть 1 .

2. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Математика. 1 кл. Учебник .

Часть 3 .

3. Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В. Математика. 1 класс .

Учебник. Часть 2 .

Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 класс .

Часть 1 .

Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 класс .

Часть 2 .

Таким образом, посмотрев учебники математики, можем сделать следующие выводы: при изучении табличных случаев сложения применяются

• словесные модели, например:

• знаковые модели, например:

• образно-знаковые, например:

• графические, например:

4+5 8+6 Однако, словесные модели усваиваются младшими школьниками сложнее, а знаковые и графические модели, как правило, носят частный характер, то есть отражают способ действий лишь для конкретного случая .

2.4. Изучение табличных случаев сложения на основе моделирования Усвоение детьми табличных случаев сложения в пределах 10, как правило, не вызывает затруднений. Но уже на этом этапе для вычисления табличных случаев сложения можно предложить детям в качестве обобщенных образнознаковых моделей использовать две линейки. Линейки можно сдвигать относительно друг друга, тем самым быстро решая примеры на сложение .

Например, 5 + 3 Использование линеек в качестве моделей будет способствовать формированию у детей обобщенного способа сложения чисел в пределах 10 и с переходом через десяток (в пределах 20), а также более быстрого и осмысленного усвоения табличных случаев сложения .

Пример задания

Используя две линейки, реши следующие примеры:

3+2 5+2 7+2 4+5 6+3 5+4 Наибольшее затруднение вызывает усвоение таблиц сложения в пределах 20, то есть случаи сложения однозначных числе с переходом через десяток .

Например: 8 + 4, 9 + 5 и др .

Также при изучении таких табличных случаев сложения в качестве графической обобщенной модели можно использовать числовой луч. Приведем примеры заданий, нацеливающих детей на использование модели .

Примеры заданий

1. Реши примеры, используя числовой луч:

6+5 9+2 7+5 7+6 5+8 8+3

2. Изобрази на числовом луче примеры. Найди суммы чисел .

6+7 9+7 8+5 7+8 Кроме того, в качестве графических обобщенных моделей можно использовать следующие:

–  –  –

+ = Примеры заданий

1. Объясни, используя рисунок, как найти сумму чисел 8 + 4 .

+ =

2. Используя графическую модель, объясни, как найти сумму чисел 8 + 7, 9 + 5 .

Также при изучении темы «Сложение с переходом через 10 в пределах 20»

облегчит работу следующая образно-знаковая модель в виде таблицы:

–  –  –

+ = + = 1 + = 7 + 5 = 12 1) 7 + 3 = 10 2) 10 + 2 = 12 Принцип ее действия таков: при сложении чисел прибавляем столько единиц, чтобы образовался десяток, а затем складываем оставшиеся единицы .

Итак, табличные случаи сложения представляют собой систему знаний, усвоение которых должно быть доведено до уровня навыка. Для этого необходима системная работа с информацией. Факторами обеспечения познавательной деятельности детей являются предъявление информации в удобной для восприятия форме и организация деятельности по ее усвоению. В качестве такой формы и выступают предлагаемые нами учебные модели .

Моделирование является составной частью проектной деятельности и методом исследования объектов по их моделям. Оно имеет два аспекта: как содержание, которое учащиеся должны усвоить, и как учебное действие, средство, без которого невозможно полноценное обучение. С помощью моделирования можно свести изучение сложного к простому, то есть сделать объект доступным для тщательного изучения .

Федеральным образовательным стандартом предусмотрена работа с предметными, знаковыми, графическими моделями, которая будет способствовать развитию образного и логического мышления, воображения .

Таким образом, предложенные нами задания на усвоение табличных случаев сложения с использованием приема моделирования будут способствовать лучшему пониманию и усвоению детьми изучаемых случаев сложения. Кроме того, задания такого вида направлены на формирование не только предметных компетенций, но и универсальных учебных действий (метапредметных результатов обучения) .

На основе рассмотренных нами теоретических положений использования моделирования при изучении табличных случаев сложения и методических особенностей работы над табличным сложением мы разработали технологическую карту урока математики для 1 класса на тему «Таблица сложения». На данном уроке мы предлагаем использовать задания, нацеливающие детей применять прием моделирования при выполнении табличных случаев сложения. Технологическая карта приведена в Приложении 1 .

Заключение

Согласно современным образовательным стандартам второго поколения процесс обучения направлен на формирование универсальных учебных действий, которые создают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и формирования компетенций, включая организацию усвоения, то есть умения учиться. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении математике имеет моделирование, которое способствует формированию обобщенных знаний .

Федеральным образовательным стандартом предусмотрена работа с предметными, знаковыми, графическими моделями, которая способствует развитию образного и логического мышления, воображения учащихся .

Моделирование в обучении математике служит методическим приемом формирования у школьников математических понятий и привития им навыков математических действий, а также использования моделей как внешних опор для организации мыслительной деятельности .

Одной из важных задач начального курса математики является формирование навыков табличного сложения, которые совершенствуются в процессе овладения приемами устного сложения однозначных и двузначных, а также двузначных чисел с переходом в другой разряд. Поэтому обучать использовать модели разных видов на уроках математики следует и при изучении табличных случаев сложения, и формировании вычислительных навыков .

Целью нашей работы было рассмотрение и выявление методических особенностей использования приема моделирования при изучении табличных случаев сложения на уроках математики в начальной школе .

Для достижения поставленной цели в ходе проведения исследования мы решали поставленные задачи путем изучения и анализа психологопедагогической и методической литературы, учебников математики для начальной школы, педагогического опыта и разработки методических средств использования моделирования при изучении табличных случаев сложения .

В ходе проведения исследования мы:

рассмотрели психолого-педагогические особенности формирования умственных действий у младших школьников;

- раскрыли сущность понятий «модель», «моделирование», а также специфику использования приема моделирования в начальной школе;

- рассмотрели теоретические основы и выявили особенности методики изучения табличных случаев сложения на уроках математики в начальных классах;

- на основе изучения педагогического опыта выявили методические приемы использования моделирования при изучении табличных случаев сложения;

- подобрали и разработали задания с использованием моделирования, направленные на формирование табличных навыков сложения у младших школьников .

На основе рассмотренных нами теоретических положений использования моделирования при изучении табличных случаев сложения и методических особенностей работы над табличным сложением мы разработали технологическую карту урока математики для 1 класса на тему «Таблица сложения». На данном уроке мы предлагаем использовать задания, нацеливающие детей применять прием моделирования при выполнении табличных случаев сложения .

Итак, предложенные нами задания на усвоение табличных случаев сложения с использованием приема моделирования будут способствовать лучшему пониманию и усвоению детьми изучаемых случаев сложения. Кроме того, задания такого вида направлены на формирование не только предметных компетенций, но и универсальных учебных действий (метапредметных результатов обучения). Подводя итог проделанной работе, можем считать целесообразным использование специальных заданий на основе применения приема моделирования при изучении табличных случаев сложения .

Таким образом, сделанные выводы позволяют нам считать, что цель исследования достигнута, задачи решены .

Список литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Вагриус, 2007. – 246 с .

2. Александрова, Э.И. Методика обучения математике в начальной школе .

1 класс. Методическое пособие / Э.И. Александрова. – М.: Вита-Пресс, 2013. – 240 с .

3. Аматова, Г.М. Математика: в 2 кн. Кн.1: учеб. пособие для студ. высш .

пед. учеб. заведений / Г.М. Аматова, М.А. Аматов. – М.: Академия, 2008. – 240 с .

4. Артёмов, А.К. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах: Пособие для студентов факультета подготовки учителей начальных классов заочного отделения / А.К. Артёмов, Н.Б. Истомина. – М.:

Институт практической психологии, Воронеж: НПО «МОДЭК»,1996. – 224 с .

5. Байрамукова, П.У. Методика обучения математике в начальных классах:

курс лекций / П.У. Байрамукова, А.У. Уртенова. – Ростов-на/Д: Феликс, 2009. – 299 с .

6. Бантова, М.А. Методика преподавания математики в начальных классах:

Учебное пособие / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Полевщикова; под ред .

М.А. Бантовой. – М.: Просвещение, 1984. – 335 с .

7. Бантова, М.А. Математика. Методические рекомендации. 1 класс / М.А .

Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова и др. – М.: Просвещение, 2011. – 112 с .

8. Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе:

курс лекций: учеб. пособ. для студ. высш. пед.учеб.заведений / А.В. Белошистая. – М.: Владос, 2007. – 455с .

9. Венгер, Л.А. Развитие познавательных способностей / Л.А. Венгер. – М.:

Педагогика, 1986. – 224 с .

10. Волков, Б.С. Психология младшего школьника: Учебное пособие / Б.С .

Волков. – М.: Академический Проект: Альма Мастер, 2005. – 208 с .

11. Гальперин, П.Я. Методы обучения и умственного развития ребенка / П.Я. Гальперин. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 45 с .

12. Гальперин, П.Я. Общий взгляд на учение о так называемом поэтапном формировании умственных действий, представлений и понятий / П.Я. Гальперин / Подг. к печати М.А. Степановой // Вестник Моск. ун-та. Сер.14. Психология. – 1998. - №2. – С.3-8 .

13. Давыдов, В.В. Учебная деятельность и моделирование / В.В. Давыдов, А.У. Варданян. – Ереван: Изд-во «Луйс», 1983. – 220 с .

14. Давыдов, В.В. Виды обобщения в обучении / В.В. Давыдов. – М.:

Педагогическое об-во России, 2000. – 262 с .

15. Деменева, Н.Н. Коррекционно-развивающая направленность обучения младших школьников устным и письменным вычислениям на уроках математики:

Курс лекций. Н.Новгород: НГПУ, 2006. [Электронный ресурс]. – Режим доступа:

https://demenevann.wordpress.com/учебно-методические-материалы/

16. Демидова, Т.Е. Программа «Математика» (для четырехлетней начальной школы) / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.Г. Рубин, А.П. Тонких .

(Образовательная система «Школа 2100»). [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://school2100.com/uroki/elementary/mat.php

17. Демидова, Т.Е. Математика. 1 класс. Рабочая тетрадь. В 3 частях / Т.Е .

Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. – М.: БАЛАСС, 2013 .

18. Демидова, Т.Е. Рациональное вычисление в курсе математики начальных классов / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких // Начальная школа плюс До и После. – 2011. – № 7. – С.94-103 .

19. Демидова, Т.Е. Математика. 1 кл.: учеб. для организаций, осуществляющих образовательную деятельность. В 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А .

Козлова, А.П. Тонких. – Изд. 3-е, испр. – М.: Баласс, 2016. (Образовательная система «Школа 2100») .

20. Зайцев, В.В. Математика для младших школьников: Метод. пособие для учителей и родителей / В.В. Зайцев. – М.: ВЛАДОС, 2009. – 72 с .

21. Зайцева, О.П. Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и в развитии личностных качеств ребенка / О.П. Зайцева // Начальная школа плюс До и После. – 2001. – № 1. – С.58 .

22. Истомина, Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах / Н.Б. Истомина. – М.: Просвещение, 2006. – 64 с .

23. Истомина, Н.Б. Математика: учебник для 1 класса огбщеобрахзовательных организаций. В 2 частях / Н.Б. Истомина. – Смоленск:

Ассоциация XXI век, 2015 .

24. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах:

учебное пособие для студентов сред. и высш. пед. учебн. заведений. / Н.Б .

Истомина. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 288 с .

25. Истомина, Н.Б. Тетрадь по математике. 1 класс. В 2 частях / Н.Б .

Истомина, З.Б. Редько. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015 .

26. Истомина, Н.Б. Методика преподавания математики в начальных классах / Н.Б. Истомина, Е.И. Шмырева и др. – М.: Просвещение, 2010. – 456 с .

27. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: Пособие для учителя / [А.Г. Асмолов, Г.В .

Бурменская, И.А. Володарская, О.А. Карабанова, Н.Г. Салмина, С.В. Молчанов]:

Под. ред. А.Г. Асмолова. – М.: Просвещение, 2010. – 151 с. (Стандарты второго поколения) .

28. Козлова, С.А. Математика. 1 класс. Методические рекомендации для учителя по курсу математики с элементами информатики / С.А. Козлова, А.Г .

Рубин, А.В. Горячев. – М.: Баласс, 2013. – 320 с .

Моро, М.И. Математика. 1 класс. Учеб. для общеобразоват .

29 .

учреждений. В 2 ч. / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. – М.:

Просвещение, 2011. – (Школа России)

30. Моро, М.И. Математика. Рабочие программы. Предметная линия учебников системы «Школа России». 1-4 классы / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В .

Степанова и др. – М.: Просвещение, 2011 .

31. Моро, М.И. Методика обучения математике в 1-3 классах / М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Инфра-М, 1989. – 336 с .

32. Новик, И.Б. Моделирование и аналогия. Материалистическая диалектика и методы естественных наук / И.Б. Новик, А.И. Уемов. – М.: Наука, 1968. – С.8-18 .

33. Петерсон, Л.Г. Активизация деятельности детей при изучении вычитания двузначных чисел с переходом через разряд / Л.Г. Петерсон // Начальная школа. – 1997. – № 6. – С.42-51 .

34. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения: Начальная школа / Сост. Е. С. Савинов. – М.: Просвещение, 2012. – 223 с. (Стандарты второго поколения) .

35. Салмина, Н. Г. Знак и символ в обучении / Н.Г. Салмина. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. – 288 с .

36. Сластенин, В.А. Педагогика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб .

заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, Е.Н. Шиянов; Под ред. В.А. Сластенина .

– М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 576 с .

37. Смирнова, Л.В. Приемы работы при изучении темы «Сложение и вычитание чисел 1-10» / В.В. Смирнова // Начальная школа. – 2003. – №10. – С.16 .

38. Стойлова, Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений / Л.П. Стойлова. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 464 с .

39. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Электронный ресурс] / Министерство образования и науки Российской Федерации. – Режим доступа: http://www.edu.ru

40. Фоминова, А.Н. Педагогическая психология: Учебное пособие / А.Н .

Фоминова, Т.Л. Шабанова. – М.: Флинта, 2013. – 333 с .

41. Чутко, Н.Н. Общеучебные умения и навыки как объекты оценивания в новых стандартах образования / Н.Н. Чутко // газета «Начальная школа», №16/2007. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://nsc.1september.ru/article .

php?ID=200701610

42. Штоф, В.А. Моделирование и философия / В.А. Штоф. – М.-Л.: Наука, 1966. – 302 с .

43. Эрдниев, П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе / П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. – М.: Педагогика, 1988 .






Похожие работы:

«Цели и задачи дисциплины (модуля): 1. Задачи курса: дать студенту практическое значение грамматического строя английского языка, необходимое для подготовки учителя средней школы, и выработать прочные навыки грамматики правильной английской речи в её устной и письменной форме. Как известно, целый ряд грамматических...»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение " Средняя общеобразовательная школа № 4"РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДЕНО Методическим советом Заместителем директора по ВР Директор школы Протокол № М.Ф.Зацепилина _ С.Е.Карчкова от _/_/ 201_г. от _/_/ 201_г _/_/ 201_г. ДОПОЛНИ...»

«От автора У важаемый читатель! Вы держите в руках книгу, написанную в первую очередь для молодежи, хотя, на мой взгляд, взрослые также могут проверить свои сексологические знания...»

«ISSN 1997-4558 ПЕДАГОГИКА ИСКУССТВА http://www.art-education.ru/electronic-journal № 4, 2015 Фомина Наталья Николаевна Natal’ya Fomina доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент РАО, руководитель подразделения Федеральног...»

«Нормы – нормальным, оставшимся – хаос Хороший девиз – "Здоровая семья – здоровое общество" – встретился мне в абаканской городской библиотеке. И возник у меня вопрос: а может ли существовать здоровая семья в обществе больном? Ведь наше общество – это боль...»

«О выходе из гражданства Кыргызской Республики В соответствии с частью 7 статьи 64 Конституции Кыргызской Республики, статьей 24, пунктом 3 части 1, частью 2 статьи 28 Закона Кыргызской Республики "О гражданстве Кыргызской Ре...»

«Гельминтозы 3 день Книги по теме Фитотерапия в паразитологии. 1.1. Dioscorides. De materia medica. IBIDIS PRESS, 2000. – 740 p.2. Абу Али ибн Сино . Канон врачебной науки в 10 томах.3. Амирдовлат Амасиаци. Ненужное для неучей / комментированный перевод С. А. Варданян. — М.: Наука, 1990. — С. 546—548. —...»

«"Рассмотрено" "Согласовано" "Утверждаю" Руководитель МО Заместитель руководителя по УВР Директор МОУ "СОШ № 2 МОУ "СОШ № 2 городского округа городского округа ЗАТО Светлый ЗАТО Светлый Саратовской области Саратовской области " " _ Протокол № от Приказ №...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Боханская средняя общеобразовательная школа № 2 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА "Русский язык" Для 5 "а" класса на 2017-2018 учебный год Рабочая программа составлена в соответствии с ФГОС ООО, с учетом примерной основной образовательной прогр...»

«Содержание образования и развитие детей дошкольного возраста СОДЕРЖАНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА Белина Елена Алексеевна воспитатель МАДОУ "Центр развития ребёнка – детский сад №14 "Оляпка" г. С...»

«Постановление администрации города от 13.06.2018 №1315-па О внесении изменений в постановление администрации города Комсомольска-на-Амуре от 08 ноября 2017 г. № 2786-па "Об утверждении административного регламента по предоставлению муниципа...»

«Отчет о результатах самообследования МАДОУ "ЦРР-д/с № 14 "Оляпка"СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на педагогическом совете Заведующий МАДОУ "Центр развития протокол от "30" августа 2017 г. ребенка детский сад № 14 "Оляпка" №4 _О.Ф. Мишарина ""201...»







 
2018 www.lit.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.