WWW.LIT.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - различные публикации
 

«высшего профессионального образования Владимирский государственный университет В. А. Скляренко О. И. Трубина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Практикум Владимир УДК. ББК. ...»

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

В. А. Скляренко О. И. Трубина

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

Практикум

Владимир

УДК .

ББК. .

С

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор зав. кафедрой математического анализа Владимирского государственного педагогического университета В. В. Жиков Доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Владимирского государственного университета С. Г. Танкеев Печатается по решению редакционного совета Владимирского государственного университета Скляренко, В. А .

С Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: практикум / В. А. Скляренко, О. И. Трубина;

Владим. гос. ун-т. — Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та,. – с .

ISBN -- -Издание соответствует программе курса математического анализа. Содержатся необходимые теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения .

Издание может использоваться студентами технических и физико-математических специальностей первого курса дневного обучения .

Ил.. Библиогр.: назв .

УДК .

ББК. .

© ISBN -- - - Владимирский государственный университет, Предисловие Издание представляет собой сборник заданий к типовому расчету по разделу «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» и предназначено как для физико-математических и технических, так и для иных специальностей университета .

Сборник составлен в соответствии с программой курса математического анализа. Задачи, включенные в сборник, отражают различные аспекты данного раздела: от его базовых понятий и основных теорем до применения аппарата дифференциального исчисления к исследованию функций и функциональных зависимостей, приближенным вычислениям, уравнениям в частных производных, к изучению геометрии кривых и поверхностей .

Заданиям типового расчета предшествует последовательное изложение необходимого для решения задач теоретического материала раздела, приведены примеры его использования при решении типовых задач .

Теоретическая часть никоим образом не является самодостаточным курсом лекций. Ее включение в практикум продиктовано лишь желанием расставить акценты на фундаментальных понятиях и утверждениях, показать их взаимосвязь и взаимозависимость. С нашей точки зрения, это поможет студенту в его самостоятельной работе по изучению данного раздела математического анализа и в его работе над типовым расчетом .

Доказательства сформулированных здесь теорем и утверждений, а также дополнительные сведения можно найти в классических учебниках [,,,,,,, ], подробнее свойства кривых и поверхностей в трехмерном пространстве описаны в [,, ], о дополнительных приемах решения некоторых задач можно узнать в пособиях и задачниках [,, ], также задачи можно найти в [,, ] .

Авторы надеются, что данное издание окажется полезным и преподавателям математики при выборе материала для практических занятий, при составлении вариантов индивидуальных заданий и контрольных работ .

. Предел и непрерывность Функцию нескольких переменных f(x) = f(x,..., xn) считают функцией одной переменной f(x), x = (x,..., xn), являющейся элементом пространства Rn. Пространство Rn евклидово, его элементы, в зависимости от контекста, можно считать точками или векторами. В Rn определены линейные операции, если x = (x,..., xn), y = (y,..., yn) Rn,, R, то

–  –  –





— открытый шар радиуса с центром в x .

Последовательность x p p= точек называется сходящейся в пространстве Rn к x, если lim x p x =, что равносильно покоординатной схоp p = xk при всех k =,..., n .

xk димости: lim p Приведем необходимые понятия, касающиеся множеств в пространстве Rn .

Множество E Rn называют ограниченным, если конечен его диаметр, число diam E = sup x x .

x,x E Точка x называется предельной точкой множества E Rn, если в любой ее окрестности есть точки из E, отличные от x. Точка x — предельная для E, если найдется последовательность точек x p из E, отличных от x и сходящихся к x. Точка x называется изолированной точкой для E, если в некоторой ее окрестности нет точек из E, отличных от x. Каждая точка множества E Rn является либо его изолированной точкой, либо предельной .

При небольших значениях n используют обычно запись f(x, y), f(x, y, z), и так далее .

Множество E Rn называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Множество E Rn называют открытым, если все его точки принадлежат ему вместе с некоторой окрестностью, то есть являются его внутренними точками. Граничной точкой множества E называют точку, в любой окрестности которой есть точки из E и из его дополнения .

Открытое множество не содержит своих граничных точек, а замкнутое содержит все свои граничные точки. Все Rn и пустое множество считаются одновременно и открытыми и замкнутыми множествами .

Ограниченное замкнутое множество E Rn называется компактным .

Множество E Rn называется линейно связным, если для любых двух E найдется непрерывная кривая — множество точек Rn, точек x, x описываемое уравнениями x = x (t),..., xn = xn(t); t, лежащая в E и такая, что x = (x (),..., xn()), x = (x (),..., xn()) .

Открытое линейно связное множество называется областью; область вместе со своими граничными точками называют замкнутой областью .

Определение (Коши). Пусть функция f(x) определена на множестве E Rn и x — предельная точка E. Число A называется пределом функции f(x) в x, запись lim f(x) = A, если xx

–  –  –

Определение (Гейне). Пусть функция f(x) определена на множестве E Rn и x — предельная точка E. Число A называется пределом функции f(x) в x, если для любой последовательности точек x p такой, что

–  –  –

Непрерывность отображения F(x) в x равносильна непрерывности всех его координатных функций Fi (x), i =,..., m в этой точке .

Отображение F(x) = (F (x),..., Fm(x)), определенное в окрестности E, называют дифференцируемым в этой точке, если найдется точки x линейное отображение L Rn Rm, для которого

–  –  –

Если функция f(x) = f(x,..., xn) определена в окрестности точки x = = (x,..., xn) Rn и в этой окрестности r + раз дифференцируема, то для нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: для каждого x из этой окрестности

–  –  –

Пример. Используя формулу Тейлора, разложить функцию u = x + + x y y xy + x xy + y + x + y по степеням x, y .

Решение.

Функция u(x, y) — многочлен -й степени по переменным x и y, d u, следовательно, остаточный член формулы Тейлора четвертого порядка равен нулю и u(x, y) совпадает со своим многочленом Тейлора четвертой степени в точке x =, y = :

–  –  –

и, следовательно, уравнение F(x, y, z) = в некоторой окрестности точки (, ) однозначно задает непрерывно дифференцируемую функцию z=z(x,y обращающую это уравнение в тождество и такую, что z(, ) = .

), Заметим, что поскольку функция F(x, y, z) бесконечно дифференцируема, то бесконечно дифференцируемой будет и z = z(x, y) .

Дифференцируя тождество F(x, y, z(x, y)), получим

–  –  –

откуда, подставляя x =, y =, z =, находим, что dz = .

Дифференцируем тождество ( ) с учетом того, что x и y — независимые переменные, и, следовательно, d x =, d y =, а z = z(x, y) — их функция:

–  –  –

Пример. Найти в точке M (, ) дифференциалы первого и второго порядков функций u = u(x, y) и v = v(x, y), заданных неявно системой уравнений u + xv y =, uv xy =, если u(, ) =, v(, ) = .

Решение. Пусть F(x, y, u, v) = u + xv y, G(x, y, u, v) = uv xy .

Покажем, что для системы уравнений

–  –  –

в окрестности точки x =, y =, u =, v = выполнены условия теоремы о системе функций, заданных неявно. Действительно, функции F и G равны нулю в точке (,,, ), непрерывно дифференцируемы в ее окрестности (любое число раз), якобиан

–  –  –

откуда du = dx, dv = dx + dy .

Для нахождения d u и d v продифференцируем ( ) с учетом того, что

x и y — независимые переменные, и, следовательно, d x = d y = :

–  –  –

Для вычисления производных второго порядка полученные равенства дифференцируем еще раз с учетом того, что zu и zv также являются сложными функциями переменных x и y. Заметим, что по теореме об обратном отображении функции x(u, v), y(u, v) дважды непрерывно дифференцируемы. Следовательно, композиция z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) имеет непрерывные, а потому равные, смешанные производные zuv и zvu. Тогда

–  –  –

приняв u = x, v = x y+z за новые независимые переменные, а w = x y+z за новую функцию .

Решение. Выразим частные производные zx и zy через частные производные функции w по переменным u и v. Для этого дифференцируем равенство w = xy+z по переменным x и y, считая, что w = w(u(x, y), v(x, y));

–  –  –

Подставив эти выражения в исходное уравнение, после упрощения получим wu + (z y + x)wv = z y .

Осталось лишь заменить старые переменные x и y, а также старую функцию z на их выражения через u, v и w. Для этого достаточно разрешить систему уравнений

–  –  –

Из полученного представления следует, что при всех dx, dy, dz, не обращающихся одновременно в нуль, d f(x, y, z ), откуда получаем, что в точке (,, ) у функции f(x, y, z) имеется локальный минимум .

Подставляя x =, y =, z =, находим, что в этой точке значение функции f(,, ) = .

Ответ. В точке (,, ) функцией достигается локальный минимум, f(,, ) = .

Задачей на условный экстремум называют задачу нахождения точки локального экстремума функции f(x,..., xn) при выполнении условий g (x,..., xn) =, ()............ .

gm(x,..., xn) =, где m n — уравнений связи описывают (n m)-мерную «поверхность», на которой должна лежать точка экстремума .

Точнее, точка x = (x,..., xn) называется точкой условного локального максимума (минимума) функции f(x) при условии ( ), если найдется такое, что для всех точек x x x и удовлетворяющих уравнениям ( ), выполняется неравенство f(x) f(x ) ( f(x) f(x )) .

Таким образом, точка условного экстремума функции f(x) при выполнении условий ( ) — это точка экстремума сужения функции f(x) на множество решений ( ) .

Для нахождения точек условного экстремума можно, разрешив уравнения связи ( ), выразить одни переменные через остальные и, подставив найденные выражения в f(x), исследовать на обычный локальный экстремум функцию меньшего числа переменных .

Найти точки условного экстремума, не решая уравнения ( ), позволяет метод множителей Лагранжа .

Пусть функции f(x) и g (x),..., gm(x) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x, и ранг матрицы Якоби g (x ) g (x ).. .

x xn

–  –  –

Точка x может быть точкой условного экстремума только в том случае, когда существует набор чисел,..., m такой, что точка (x,...,xn,,...,m) является критической точкой для функции Лагранжа L(x, ). Сами числа,..., m называются множителями Лагранжа для точки x .

Если функции f и g,..., gm дважды непрерывно дифференцируемы в точке x, то характер этой точки можно уточнить, исследовав на знакоопределенность квадратичную форму второго дифференциала d L(x, ), в которой после дифференцирования уравнений связи ( ) и получения зависимостей между dx,..., dxn «лишние» дифференциалы исключены .

Пример. Исследовать функцию f(x, y) = x y на экстремум при условии x + xy + y + x y + = .

Решение. Составим функцию Лагранжа

–  –  –

что означает, что первая точка — точка минимума. Значение функции в, =. Аналогично для точки x =, y =, = также ней f dy = dx и d L(x, y, ) = dx, f(, ) = — условный максимум. То, что значение функции в точке максимума меньше, чем в точке минимума, удивлять не должно, эти точки лежат на разных ветвях гиперболы .

Ответ. f(, ) = — условный максимум, f, = — условный минимум .

Пример. Найти радиус основания и высоту цилиндра, который имеет минимальную площадь полной поверхности при заданном объеме см .

Решение. Пусть r — радиус цилиндра, h — его высота. Тогда объем цилиндра V = r h, а площадь полной поверхности S = r + rh. Нужно найти r и h, при которых r + rh достигает минимума в области, где,h при условии r h =.

Составляем функцию Лагранжа:

r

–  –  –

откуда следует, что полученная точка доставляет условный локальный минимум .

, h= r= Ответ. .

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) в Rn достигаются в ее точках. Доограниченной замкнутой области D стигаться они могут или во внутренних точках D, или в граничных. Если f(x) дифференцируема во внутренних точках D, то внутренние точки максимума и минимума будут критическими для f(x). Граничные точки максимума и минимума f(x) будут точками условного экстремума .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u(x, y) = x + xy+ y x + y в треугольнике ABC, где A(, ), B(, ), C(, ) .

Решение. Из всех значений, принимаемых функцией на границе области, найдем наибольшее и наименьшее значения.

Граница треугольника состоит из трех отрезков:

–  –  –

. Геометрические приложения теории неявных функций .

Кривые и поверхности в трехмерном пространстве.. Простая параметрически заданная кривая Определение. Множество точек в R, заданное как образ при непрерывном отображении числового промежутка T, называется простой параметрически заданной кривой, если разным значениям t T соответствуют разные точки множества .

Если в пространстве R введены декартовы прямоугольные координаты (x, y, z), то положение точек кривой определяется соотношениями:

–  –  –

.. Простая параметрически заданная поверхность Пусть — открытое множество в R, пространстве переменных u, v .

Определение. Множество S точек в R, заданное как образ множества при непрерывном отображении R, называется простой параметрически заданной поверхностью, если разным точкам множества отвечают разные точки множества S .

Отображение в координатной форме записывается равенствами вида:

–  –  –

которые называют параметрическими уравнениями поверхности; независимые переменные u, v — параметры или координаты на S .

Положение точек поверхности описывает её радиус-вектор

–  –  –

.. Кривая, заданная как пересечение поверхностей Кривая в пространстве R может быть задана как пересечение двух поверхностей. Если поверхности S и заданы неявно уравнениями

–  –  –

Определение. Точка M (x, y, z ) называется неособой, если векторы grad F (M ) и grad G (M ) не коллинеарны (рис. ) .

Если M — неособая точка кривой, то среди миноров второго порядка матрицы Якоби Fx Fy Fz Gx Gy Gz M есть не равный нулю. ПредполоD (F, G) жим, что.

Тогда на осноD (x, y) вании теоремы о системе неявных функций заключаем, что в некоторой окрестности точки M система уравнений ( ) разрешима относительно переменных x и y, то есть равносильна системе вида:

–  –  –

следует, что хотя бы одна из производных отлична от нуля. Пусть, например, zt (t ). Воспользуемся теоремой об обратной функции, которая утверждает, что в некоторой окрестности точки z = z (t ) определена обратная функция t = t (z), и исключим параметр t из системы ( ) параметрических уравнений кривой. Получим равносильную систему вида ( ):

x x (t (z)) =, y y(t (z)) = .

Из сказанного следует, что в окрестности неособой точки рассмотренные способы задания кривой — параметрический и как пересечение двух поверхностей равносильны .

Отсюда заключаем, что в неособой точке M кривая, заданная пересечением поверхностей, имеет касательную. Чтобы найти уравнение касательной прямой, достаточно заметить следующее. Поскольку кривая расположена и на поверхности S, и на поверхности, то искомая касательная принадлежит и касательной плоскости к поверхности S в точке M, и касательной плоскости к поверхности в точке M, то есть является пересечением этих касательных плоскостей. Тогда направляющим вектором касательной прямой может служить векторное произведение (см. рис. )

–  –  –

Задача. Используя известные разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, разложить функцию f(x, y) по формуле Тейлора в окрестности точки M (x, y ) до o( ), где = (x x ) + (y y ) .

–  –  –

Задача. Найти в точке M(x, y ) дифференциалы первого и второго порядков функций u = u(x, y) и v = v(x, y), заданных неявно системой уравнений F(x, y, u, v) =, G(x, y, u, v) =, если u(x, y ) = u, v(x, y ) = =v .

–  –  –

Задача. Преобразовать выражение F = F(x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy), где z = z(x, y) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, к новым переменным u и v .

–  –  –






Похожие работы:

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Директор института Институт спорта, туризма и сервиса _В. В. Эрлих 24.04.2017 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА к ОП ВО от 17.10.2017 №007-03-0339 дисциплины В.1.08 Современные средства оценивания результатов для направления 44.03.01 П...»

«Scientific Cooperation Center Interactive plus Шаповалова Татьяна Павловна воспитатель ГБОУ "Шебекинская гимназия-интернат" г. Шебекино, Белгородская область РАЗВИТИЕ САМООРГАНИЗАЦИИ ВОСПИТАННИЦ ГИМНАЗИИИНТЕРНАТА КАК ОДНО ИЗ ВАЖНЕЙШИХ НАПРАВЛЕНИЙ ВОСПИ...»

«ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2013, том 56, №7 НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ УДК 541.123.7 Л.Солиев ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ Na,K,Mg,Ca//SO4,Cl-H2O ПРИ 50°С В ОБЛАСТИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ЛАНГБЕЙНИТА (K2S...»

«ВИТАЛИЙ БИАНКИ ЛЕСНАЯ ГАЗЕТА СКАЗКИ И РАССКАЗЫ Издательство АСТ УДК 821.161.1-3 ББК 84(2Рос=Рус)6-44 Б59 Серийное оформление и дизайн обложки А. Фереза Рисунок на обложке А. Аземши Бианки, Виталий Валентинович. Лесная газета : сказки и рассказы...»

«Специальность 46.02.01 Документационное обеспечение управления и архивоведение Специалист по документационному обеспечению управления, архивист ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ – федеральное государственное бюджетное образовательное ПГНИУ учреждение высшего образования "Пермск...»

«Приложение 1 ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ОСНОВНАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРА по направлению 44.03.01 Педагогическое образование Направленность (профиль) Музыкальное образование (в...»

«УТВЕРЖДАЮ директор МБОУ "СОШ №3" Капитанова Н.С. Программа профильного отряда "Архивариус" летнего оздоровительного лагеря с дневным пребыванием детей Возраст детей: 13-15 лет Срок реализации: июнь 2018 г. Автор: Бинедер Ю.В., учитель технологии и рисования МБОУ СОШ №3 г. Волгореченск 2018 г. Содержание 1. Информационна...»







 
2018 www.lit.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.